复变函数试题汇总————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ《复变函数》考试试题(一）一、 判断题（2０分）:1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ )2.有界整函数必在整个复平面为常数.( ） ３.若}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.（ )4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）.( )５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若z 0是)(z f 的m阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点． （ ) 7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z０是函数f(z)的可去奇点.( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠.（ ）9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz＿__＿______.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有____＿__＿__.5．幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__＿＿＿_＿＿_＿.6．若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__＿___＿＿__.７.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21___＿__＿_______．8.=)0,(Re n zz e s _＿＿_____,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为_____＿＿＿ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z３. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +４. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四． 证明题.(２0分) 1． 函数)(z f 在区域D 内解析． 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D内为常数． 2. 试证： ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二）一. 判断题.（20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u （x,ｙ)与v (x ，ｙ)都在Ｄ内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界.( )3. 若函数f （z )在z 0解析,则ｆ(z )在z ０连续. ( ) 4． 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数ｆ（z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在.( )6. 若函数f (z )在z ０可导，则f （z )在z 0解析． ( )7. 若f （z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f ．8.若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.( ）9． 若f （z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ）10. 存在一个在零点解析的函数f (ｚ)使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. （20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz _______＿．３．=-⎰=-1||00)(z z n z z dz____＿__＿＿.(n 为自然数）４. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为_＿_＿＿_____ .5． 若z 0是ｆ（z )的m 阶零点且ｍ>0,则z ０是)('z f 的___＿＿零点. ６. 函数ｅz 的周期为_＿＿_＿_____.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有__＿_＿＿___. 9． 函数||)(z z f =的不解析点之集为___＿____. 1０. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分）1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. ２. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值．3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||，积分路径为(１)单位圆(1||=z )的右半圆.4． 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π．四. 证明题. (20分）1. 设函数f (ｚ)在区域D 内解析，试证:ｆ（z ）在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三）一. 判断题． （20分). 1.c ｏsz 与ｓｉｎ z 的周期均为πk 2.( )２. 若f （z ）在z 0处满足柯西-黎曼条件， 则f (z )在z ０解析. ( )３. 若函数f (z ）在ｚ0处解析,则f （z )在z 0连续. （ ) ４.若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛． ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f （ｚ)在区域D 内为常数. ( )６. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7． 如果函数ｆ(ｚ)在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ )8. 若函数f (ｚ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )９. 若ｚ是)(z f 的ｍ阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点． （ ) １0. 若z 是)(z f 的可去奇点，则)),((Res 0=z z f .( )二． 填空题. (20分) 1． 设11)(2+=z z f ，则f （z )的定义域为＿＿＿＿_______. 2. 函数e z的周期为_＿_＿___＿_． 3． 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim _________＿.4. =+z z 22cos sin _＿__＿＿__＿__. ５．=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__＿＿__＿_＿.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__＿___＿_＿_.7． 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有_＿＿＿___＿__.８. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze ．三. 计算题. (40分)１. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为La ｕr ｅｎｔ级数.２. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z ．4. 求0282269=--+-z z z z在｜z |<1内根的个数.四. 证明题． （20分） １. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数． 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及Ｍ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(四)一. 判断题. (20分）１. 若f (z )在z 0解析,则f (ｚ)在z０处满足柯西-黎曼条件.（ )２． 若函数ｆ(ｚ)在ｚ0可导,则ｆ(z )在ｚ0解析. ( )3． 函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界. （ )4. 若ｆ(z )在区域D 内解析,则对Ｄ内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f .５． 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点． （ ） 6. 若函数f （z ）在区域D 内解析且0)('=z f ，则f （z )在D 内恒为常数． （ ) ７. 如果ｚ０是ｆ（z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在． （ ） 8. 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点.（ ） 9. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析,且在D 内一小弧段上相等，则Dz z g z f ∈≡),()(．( ) 10. 若)(z f 在+∞<<||0z 内解析,则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f ．（ )二. 填空题. （２０分）1. 设iz -=11,则___Im __,Re ==z z .２． 若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)21_____＿_____＿__.3. 函数ｅz 的周期为＿____＿_＿_＿.4. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为_＿__＿＿____ 5. 若函数f (ｚ）在复平面上处处解析,则称它是_＿___＿_＿___．6. 若函数f （z )在区域Ｄ内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的＿＿___________. 7. 设1|:|=z C ,则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为_＿_＿___＿．9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10．=)0,(Res n zze ＿_＿______＿___．三. 计算题. (40分）1. 解方程013=+z .2. 设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s3..))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z.4. 函数()f z =z e z111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点,指明它的阶数).四. 证明题. (２０分) 1. 证明:若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题(五）一. 判断题.（20分）1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （ ）2. 若函数f （z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数,则在区域D 内恒等于常数． ( ）3． 若f (z ）在区域D 内解析,则|f (z )｜也在Ｄ内解析. （ ）4. 若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析． ( ）５. 若函数f （z )在z 0处满足Cau ｃh ｙ-Ｒiemann 条件,则f (ｚ)在z 0解析. ( ）6. 若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是f (z )的可去奇点.（ ）7. 若函数f (ｚ)在z 0可导，则它在该点解析． ( ） 8. 设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界,则必)(z f 为常数. ( )9． 若0z 是)(z f 的一级极点,则)()(lim )),((Res 000z f z z z z f z z -=→.( ） 10． 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等,则Dz z g z f ∈≡),()(.（ )二. 填空题.（２0分） 1. 设i z31-=，则____,arg __,||===z z z .２． 当___=z 时，z e 为实数.3． 设1-=ze ，则___=z .4.z e 的周期为＿__．5. 设1|:|=z C ,则___)1(=-⎰Cdz z .6．____)0,1(Res =-ze z .７. 若函数f （ｚ)在区域Ｄ内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内的_＿＿____＿_＿＿__。