二．判断题（每题3分，共30分）1．n z z
(在0=z解析。
【】
f=
z
)
2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】
4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。
【 】 5． 设级数∑∞
=0
n n c 收敛，而||0
∑∞
=n n c 发散，则∑∞
=0
n n n z c 的收敛半径为1。
【 】
6． 1
tan()z
能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln n z n z =成立。
【 】
8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。
【 】
9．如果u 是D 内的调和函数,则
y
u i x u f ∂∂-∂∂=
是D 内的解析函数。
【 】10．2122
3
3||||2
2
1
1
12|2(1)
1z z z z dz dz i i z z z z ππ==
=
=
==--⎰
⎰。
【 】
三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数
iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())
2)(1(--=z z z
z f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的
洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x ⎰∞
+∞-++5
4cos 22。
六．（8分）设⎰
-++=C
d z
z f ξ
ξξξ1
73)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求
(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6.
e
1 ；
7.
3
22)1(2
6+-s s ；8. 0；
9. 0 ；10.
)]2()2()
2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。
三(8分) 解: 1)在2||1<<z
11000111111
()()(()())()21222
n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞
+====-=--=-+--∑∑∑-----4
分
2) 在1|2|z <-<∞
2
111111
()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)
2
n
n n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4
分
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
]
2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz
ix +-++=++⎰∞
+∞-π --------3分 )2sin 2(cos 54))2((lim 222i e
z z e i z i iz i z -=+++--=+-→π
π
--------6分 故 2cos 254Re 254cos 222e dx x x e dx x x x ix π
=++=++⎰⎰∞+∞-∞
+∞- ---------8
分 五
.(8
分
)
解
:
22371
()()C
f z d z ξξξξ++'=-⎰Ñ
-------3分
由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故
i C
i d i i f +='++=+-++=+'⎰12
2
2|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分
六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的
分式线性映射,可以得到
λ
λ
π
π
θ
--=z
a z
a i e e e z f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)
七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
1
3)(3))0()(()0()0()(`2+=
--+'--s s Y y s sY y sy s Y s 代入初始条件,得3
21
13
)(2-+++=s s s s Y --------4分
)1)(3(1
)1)(3)(1(3-++-++=s s s s s 3
81185143
++-++-
=s s s 故, t t t e e e t y 38
18543)(--++-= ---------8
分(用留数
做也可以)
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π ；2. 三级极点 ；3.
23z ；
4. 0 ；
5. 0 ；
6. e
1 ；7. 1cos 1sin - ；
8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。
二.判断1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。
三.(8分) 解:因为y e v px sin =是调和函数,则有
02222=∂∂+∂∂y
v
x v ,即 0sin )1(sin sin 22=-=-y e p y e y e p px px px 故1±=p ---------2
分 1) 当
1=p 时, y e v x sin =, 由C-R 方程,
y e y v x u x cos =∂∂=∂∂, 则)(cos ),(y g y e y x u x +=, 又由 y e x
v
y g y e y u x x sin )(sin -=∂∂-='+-=∂∂，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。
则 c e z f z +=)( ----------3分
2) 当 1-=p 时, y e v x sin -=, 由C-R 方程,
y e y v x u x cos --=∂∂=∂∂, 则)(cos ),(y g y e y x u x +-=-, 又由 y e x
v
y g y e y u x x sin )(sin =∂∂-='+=∂∂-，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。
则 c e z f z +-=-)( 四(8分) 解: 1)在2||1<<z
11000111111
()()(()())()21222
n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞
+====-=--=-+--∑∑∑-----4
分
2) 在1|2|z <-<∞
2
0)2(1)1(21)
)2
11)(2(11(21)1211(21)(+∞
=--+-=-+-+-=+-+-=
∑n n n
z z z z z z z z f
-------4分
五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
]
2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz
ix +-++=++⎰∞
+∞-π
--------3分 )
2sin 2(cos 54))2((lim 222i e
z z e i z i iz i z -=+++--=+-→ππ --------6
分 故 2cos 254Re 254cos 222e dx x x e dx x x x ix π
=++=++⎰⎰∞+∞-∞
+∞- ---------8
分 六
.(8
分
)
解
:
22371
()()C
f z d z ξξξξ++'=-⎰Ñ
-------3分
由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故
i C
i d i i f +='++=+-++=+'⎰12
2
2|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ )136(2i +-=π -------8分
七. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的
分式线性映射,可以得到
λ
λ
π
π
θ
--=z
a z
a
i e e
e z
f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)。