2 2 2
x
或
xx

y
yy

z
zz
1
(3.1-48)
x2 y 2 z2 2 2 1 2 nx n y nz
(3.1-49)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z k sa rb sb
(k)
O ra x
图 3.1-6 利用折射率椭球确定折射率和D振动方向图示
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
1 cos sin 2 n //
2 2
(3.1-31)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
De Ee
z



se k so
Do x
Eo
O

y
图 3.1-3 单轴晶体中的本征矢E和D
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3) 双轴晶体 介电张量三个主值都不相同的晶体具有两个光轴 , 称为双轴晶体。 属于正交、 单斜和三斜晶系的晶体都 是双轴晶体。 其中, 正交晶体的对称性足够高, 三个介 电主轴方向都沿晶轴方向,单斜晶体只有一个主轴方向
1) 各向同性介质
这是最简单的一种情况。 对于各向同性介质有
εxx=εyy=εzz=εr=n20
代入（3.1-22）式后, 得
(n ) 0
2 r 2
(3.1-23)
由此可得, 折射率n为
n r n0
(3.1-24)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
D′ E′ s E″ D″
1 cos2 sin2 2 2 2 ne ( ) no no
(3.1-52)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z′ k
z y′ n ′e (k)

O O no
ne

no y
x′ x
图 3.1-7 单轴晶体折射率椭球作图法
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c
0 0 0
O
2
k y
x
图 3.1-5 双轴晶体中k方向的取向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由（3.1-11）式出发可以证明,
个传播模的折射率满足下面关系:
若光波波法线方向
与二光轴方向的夹角为θ1和θ2（图3.1-5）, 则相应的两
1 cos2 [(1 2 / 2] sin 2 [1 2 / 2] 2 n1,2 xx zz
2） 单轴晶体
在单轴晶体中, εxx=εyy≠εzz， 或nx=ny=no, nz=ne ≠no, 因此, 折射率椭球方程为
x2 y 2 z2 2 2 1 2 no no ne
(3.1-51)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
现如图3.1-7所示, 对于一个正单轴晶体的折射率椭
球, 光波k与z轴夹角为θ, 由于单轴晶体折射率椭球是 一个旋转椭球, 所以不失普遍性, 可以选择坐标使k在 yOz平面内。 由此作出的中心截面Π(k)与椭球的交线椭 圆, 其短半轴长度与k的方向无关, 不管k方向如 何， 均为no; 长半轴长度则随k的方向而定, 其折射率ne (θ)满足如下关系: 并且可以证明,
式中, θ是z轴与k方向之间的夹角。 将上述关系代
2 (n2 )[n// cos2 sin2 ) // ] 0
(3.1-30)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由此可见, 对于满足上式第一个因子等于零, 即n2=ε⊥ 的光波来说, 其折射率与光波的传播方向无关, 称为寻 常光（o光）, 折射率为no。 对于由上式第二个因子等 于零所确定的光波, 其折射率满足如下关系:
2 2 y 2 y 2 z 2 zz xx (k z2 k y )] xx yy zz 0
(3.1-22)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
E′
D′
′
′ ″ ″
E″ D″ s″
s′ k
图 3.1-1 与给定k相应的D、E、s方向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
双 轴 晶 体 传 播 模 的 本 征 矢 可 由 （ 3.1-12 ） 式 和
（3.1-19）式求得, 其电场分量形式为
E
(m) i

(n ii ) N
2 m
ki
( m)
i x, y , z
2 ii i 1/ 2
m 1,2
(3.1-43) (3.1-44)
式中
N
(m)
k 0 2 2 i x , y , z (nm ii )
这里, d是D振动方向上的单位矢量。
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
1） 各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中, 主介电常数 εxx=εyy=εzz, 相应的主折射率nx=ny=nz=n0, 折射率椭球方 程为 x2+y2+z2=n20 (3.1-50)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
图 3.1-2 各向同性介质中E、D、k、s的关系
k
O
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2) 单轴晶体
对于这类晶体有εxx=εyy=ε⊥=no, εzz=ε∥=ne , 主轴x、 y的
k y sin k z cos kx 0
入（3.1-22）式, 得
(3.1-29)
场矢量E的方向相同, 即D矢量的每个分量只与E矢量的 相应分量线性相关。 对于各向异性晶体, D和E间的关
系为
D 0 r E
(3.1 - 2)
介量常数ε=ε0εr是二阶张量, 该关系的分量形式为
Di 0ij E j
i, j x, y, z
(3.1 - 3)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
(3.1-46)
因而有
D
2e 0 xx
2 x
பைடு நூலகம்

2 Dy
2e 0 yy

D
2e 0 zz
2 z
1
(3.1-47)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
在给定电能密度we的情况下, 该方程表示为
D(Dx,Dy,Dz)空间的椭球面。 若用r2代替D2/2weε0, （3.1-47）式可改写为
(3.1-40)
当θ1=θ2=θ, 即当波法线方向k在二光轴角平分面内时, 相应两个传播模的折射率为
n1 xx cos sin n2 zz xx
2 2 1 / 2
(3.1-41)
(3.1-42)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
zz ( yy xx ) t an xx ( zz yy )
(3.1-39)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
光轴2 -
z
光轴1

O
y (向纸面内)
x
图3.1-4 双轴晶体中光轴的取向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c2 c1 -
1
(1) 与波法线方向k相应的两个传播模的折射率n1和
n2, 分别等于这个椭圆两个主轴的半轴长, 即
n1(k)=|ra(k)|
n2(k)=|rb(k)|
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
(2) 与波法线方向k相应的两个传播模的D振动方向 d1和d2, 分别平行于ra和rb, 即
ra ( k ) d1 ( k ) ra ( k ) rb ( k ) d 2 (k ) rb ( k )
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3.1 光波在各向异性晶体中的传播特性 3.2 介质损耗对光波传播的影响
3.3 非线性光学耦合波方程
3.4 非线性介质中的场能量
3.5 非线性光学相位匹配
习题
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3.1 光波在各向异性晶体中的传播特性
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2. 晶体光学的基本方程
在均匀、 不导电、 非磁性的晶体中, 若没有自由电 荷存在, 麦克斯韦方程组为
D H t H E 0 t B 0 D 0
(3.1 - 5)
(3.1 - 6)
(3.1 - 7)
(3.1 - 8)
3.1.1 光波在晶体中传播特性的解析法描述 1. 晶体的介电常数张量 由电磁场理论已知, 介电常数是表征介质电学特性 的参量。 在各向同性介质中, 电位移矢量D与电场矢量 E满足如下关系:
D=ε0εrE
(3.1 - 1)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由于介电常数ε0εr是标量， 所以电位移矢量D与电
x2 x2 2 1 2 n x nz
(3.1-54)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c2 n3 c1 y 圆载面 O n2 n1 x 圆载面
-
图 3.1-9 双轴晶体双光轴示意图
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
椭圆上任一点矢径r与x轴的夹角为ψ, 长度为n, 且n 的大小在nx和nz间随ψ变化。 由于nx＜ny＜nz, 所以总可 以找到某一矢径r0, 其长度为n=ny。 设这个r0与x轴的夹 角为ψ0, 则由（3.1-54）式可以确定ψ0满足
tan0
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
将（3.1 - 5）式和（3.1 - 6）式中的H消去, 可以得到
n2 D k (k E ) 0n 2 [ E k (k E )] (3.1 - 9) 0c