系统的单位样值响应为
h(n) 0.5 (n) 2 3n u(n) 0.5 2n u(n)
例4
y(n) 1 y(n 1) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2) 5
（1）求系统单位样值响应 h(n) （2）判断系统稳定性
mn
N
解：h(n) C j (n j) Aiinu(n) n m
h(t)
n
Aie1t u(t)
i1
Ai
例2 试求如下微分方程所描述的系统的 单位冲激响应。
y''(t) 4y'(t) 3y(t) x'(t) 2x(t)
解：首先系统对应的特征方程为 2 4 3 0
求得其两个特征根分别为： 1 1 2 3
h(t)应具有如下形式 :
h(t) ( A1et A2e3t )u(t)
k 0
k 0
（2）h(t)的特点：
应具有齐次微分方程解的基本形式。
根据方程两边函数项匹配的原则，h(t)为:
n>m时，h(t) 具有形式:
n
h(t) Aieitu(t) i 1
n=m时，h(t)具有形式：
n
h(t) c (t) Aieitu(t)
பைடு நூலகம்
i 1
n<m时， h(t)具有形式：
零状态响应 ：
系统在“起始松驰”(即零初始 条件)情况下，系统对本次输入 激励的响应，称之为“零状态 响应”。
系统响应表达式 ： 系统响应＝零输入响应＋零状态响应
（二）线性时不变系统的单位冲激响应
1、线性时不变系统的单位冲激响应的 定义
系统在零初始条件下，对单位样值信号 δ(n)的响应，记为h(n)。
Ai i nu (n)
nm
例3 线性时不变因果离散系统的差分方程为 y(n) 5y(n 1) 6y(n 2) x(n) 3x(n 2)
试求出该系统的单位样值响应。
系统的特征方程为 2 5 6 0
求得两个特征根分别为 1 3, 2 2
h(n)为 h(n) C0 (n) A13n u(n) A2 2n u(n)
n
m
ak y(n k) bk x(n k)
k 0
k 0
y(n)=h(n)
x(n)=δ(n)
n
m
ak h(n k) bk (n k)
k 0
k 0
3、线性时不变离散系统的单位样值响应
（3）h(n)的特点：
h(n)
n i1 mn
Aiinu(n)
N
nm
C j (n
j0
j)
i 1
(
1 2
e
t
1 2
e3t )u(t)
3、线性时不变离散系统的单位样值响应 （1）δ(t)和δ(n)的区别
δ(t)的定义
(t)dt 1 (t 0)
(t) 0
(t 0)
0
t
δ(n) 的定义
(n)
1 0
n0 n0
0
n
3、线性时不变离散系统的单位样值响应
（2）表达式
对于线性时不变离散系统
满足方程 h(n) 5h(n 1) 6h(n 2) (n) 3 (n 2)
分别求出h(n-1),h(n-2)代入上式
(C0 A1 A2) (n) (C0 2A1 3A2) (n 1) 6C0 (n 2) (n) 3 (n 2)
等式两边对应项系数相等 C0 1/ 2, A1 2, A2 1/ 2
第二部分 信号的线性系统处理
大纲
时域法分析 频域法分析 复频域分析
线性时不变因果系统 线性时不变系统的单
位冲激响应 线性时不变系统的时
域分析
频率响应 无失真传输 理想低通滤波器
微分方程的复频域求解 传递函数
一、时域分析法
线性时不变因果系统 线性时不变系统的单位冲激响应 线性时不变系统的时域分析
mn
n
h(t) e j ( j) (t) Aieitu(t)
j0
i 1
例如，系统具有n个不同的单特征根λi 时，h(t) 应具有如下函数形式
n
h(t) Aieitu(t) i 1
（3）求h(t) 的经典方法和步骤
列系统微分方程 求微分方程的特征根 得齐次解 求各阶导数 代入微分方程 两边奇异函数的系数平衡，可求出系数
j0
i 1
1
5
h
(n)
A(
1)n 5
n2
h(n) (n) 9 (n 1) 66 1 nu(n 2)
5
5
h(n) 1 9 66(0.2)n
n0
5 n2
稳定系统
（三）线性时不变系统的时域分析
卷积积分 卷积和 卷积的性质
线性时不变系统时域分析的基本思想：
任意连续时间信号可以分解为一系列冲 激函数之和，如果已知线性时不变系统的单 位冲激响应h(t)，利用线性时不变系统的线 性和时不变性，就能确定出系统对任意信号 的响应。
（一）线性时不变因果系统
线性时不变动态系统表示方法 线性时不变动态系统的输出
1、线性时不变动态系统表示方法
对于连续系统，由线性常系数微分方程描述：
n
m
ak y (k) (t) bk x (k) (t)
k 0
k 0
对于离散系统，由线性常系数差分方程描述：
N
M
ak y(n k) bk x(n k)
系统在零初始条件下对激励为单位冲激函 数δ(t)所产生的响应，记为h(t).
2、线性时不变连续系统的单位冲激响应
（1）表达式 对于线性时不变连续系统
n
m
ak y(k) (t) bk x(k) (t)
k 0
k 0
y(t)=h(t) x(t)=δ(t)
n
m
ak h(k) (t) bk (k) (t)
k 0
k 0
2、线性时不变动态系统的输出
起始松驰 ：
如果系统输出的初始条件为零，即
x(t) 0 t 0 y(t) 0 t 0
或
x(n) 0 n 0 y(n) 0 n 0
通常叫做“起始松驰”。
零输入响应：
没有外加激励信号的作用，只 有起始状态（起始时刻系统储 能）所产生的响应。相当于本 次输入为零系统仍有的输出， 称之为“零输入响应”。
将其代入原方程 ： h''(t) 4h'(t) 3h(t) '(t) 2 (t)
根据h(t)可以求解出h’(t)和h”(t)的形式，代入上式
(A1 A2 ) '(t) (3A1 A2 ) (t) '(t) 2 (t)
方程两边各奇异函数项系数相等，有A1=A2=1/2
h(t)