2.2.3 待定系数法
【学习要求】
1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式；
2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题． 【学法指导】
通过待定系数法的学习，培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力；通过在旧知识的基础上产生新知识，激发求知欲；通过合作学习，培养团结协作的品质. 填一填：知识要点、记下疑难点
1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定 ，然后再根据题设条件求出这些 待定系数 ．这种通过求 待定系数 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
2.正比例函数的一般形式为 y ＝kx(k ≠0) ，反比例函数的一般形式为y ＝ k
x
(k ≠0) ，一次函数的一般形式为
y ＝kx ＋b(k ≠0) ，二次函数的一般形式为 y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0) . 研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 对于一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数关系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法来求一次函数的关系式？本节就来学习求函数解析式的一种常用方法——待定系数法．
探究点一 待定系数法的概念
问题1 已知一个正比例函数的图象通过点(－3,4)，如何求这个函数的解析式？
答：我们可设所求的正比例函数为y ＝kx ，其中k 待定，根据已知条件，将点(－3,4)代入可得k ＝－4
3
.
所以所求的正比例函数是y ＝－4
3
x.
问题2 在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数法下个定义吗？
答：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法． 问题3 正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？各有几个需要确定的系数？
答： 解析式分别为y ＝kx(k≠0)，y ＝kx ＋b(k≠0)，y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)，它们的解析式中待定系数各有1个，2个，3个．
问题4 对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件时，它们才相等？ 答： 当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等． 探究点二 用待定系数法求一次函数
问题1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？ 答： 只需要一个条件．
问题2 我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？ 答： 需要2个独立的条件．因为一次函数的解析式中有2个待定的系数．
例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．
解： 设所求的一次函数是f(x)＝kx ＋b(k≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
22k ＋b －3k ＋b ＝52b －－k ＋b ＝1 即⎩
⎪⎨⎪⎧
k －b ＝5k ＋b ＝1解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2. 小结： 在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式． 跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x ＋8，求此一次函数的解析式．
解： 设该一次函数是y ＝ax ＋b ， 由题意得f[f(x)]＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2
x ＋ab ＋b ＝9x ＋8. 因此有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＝9ab ＋b ＝8， 解方程组，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3
b ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3
b ＝－4. 所以一次函数为f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －4.
探究点三 用待定系数法求二次函数
问题1 二次函数解析式有哪几种表达式？
答： 二次函数解析式有三种形式：一般式：y ＝ax 2
＋bx ＋c ； 两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ；
顶点式：y ＝a(x －h)2
＋k.
问题2 我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？为什么？ 答： 需要三个条件，因为二次函数解析式中有三个待定的系数． 问题3 如何根据题设条件来设二次函数的解析式？
答： (1)已知二次函数图象过三个已知点，可设解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ；
(2)已知二次函数图象的顶点坐标(m ，n)，可设解析式为y ＝a(x －m)2
＋n ； (3)已知二次函数图象与x 轴有两个交点，可设解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．
例2 已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝5，求这个函数．
解： 设所求函数为f(x)＝ax 2
＋bx ＋c (a≠0)，其中a ，b ，c 待定， 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
0＋0＋c ＝－5a －b ＋c ＝－4
4a ＋2b ＋c ＝5
，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.
因此，所求函数为f(x)＝2x 2
＋x －5.
小结: 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
跟踪训练2 已知二次函数图象的顶点为(－1，－3)，图象与y 轴交点为(0，－5)，求函数的解析式．
解: 设所求的二次函数为y ＝a(x ＋1)2
－3, 由条件得：点(0，－5)在抛物线上，
所以有a －3＝－5，得a ＝－2. 故所求的抛物线解析式为y ＝－2(x ＋1)2－3. 即y ＝－2x 2
－4x －5.
例3.已知函数f(x)＝x 2
－4ax ＋2a ＋6，若函数的值域是[0, ＋∞)，求函数的解析式．
解: 因为函数的值域是[0, ＋∞)， 所以Δ＝16a 2
－4(2a ＋6)＝0，解得a ＝－1或a ＝32
.
所以f(x)＝x 2
＋4x ＋4或f(x)＝x 2
－6x ＋9.
小结: 用待定系数法求函数解析式是常用的方法，其步骤为：先设出含有待定系数的函数解析式，再根据条件列出含有待定系数的方程或方程组，最后求出方程或方程组的解，从而写出所求的解析式．其步骤可简记为四个字“设、列、求、写．”
跟踪训练3 二次函数的图象与x 轴交于A(－2, 0)，B(3, 0)两点，与y 轴交于点C(0，－3)，求此二次函数的解析式．
解: 因为二次函数的图象与x 轴交于A(－2, 0), B(3, 0)两点， 所以可设二次函数为f(x)＝a(x ＋2)(x －3)，
将C 点坐标(0，－3)代入f(x)的表达式，得－6a ＝－3， 解得a ＝1
2
.
所以二次函数是f(x)＝12(x ＋2)(x －3)， 即f(x)＝12x 2－1
2
x －3.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.二次函数y ＝－x 2
－6x ＋k 的图象的顶点在x 轴上，则k 的值为 ( ) A ．－9 B ．9 C ．3 D ．－3
解析: ∵y＝－(x ＋3)2
＋k ＋9，∴k＋9＝0，k ＝－9.
2.已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2.则y 与x 的函数关系式为______________． 解析: 设y ＋5＝k(3x ＋4)，由x ＝1时，y ＝2， 得2＋5＝k(3＋4)，所以k ＝1， 所求函数关系式为y ＝3x －1.
3.若函数y ＝x 2
＋(a ＋2)x ＋3，x∈[a ，b]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.
解析: 对称轴x ＝－a ＋22＝1， 又a ＋b
2
＝1， ∴b＝6.
课堂小结：
1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，通常选择两根式．
2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。