supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数
supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
sup A inf B.
例5
A 和 B 为非空数集, S A B.
inf S min inf A , inf B . 证: x S , 有 x A 或 x B, 由 inf A 和 inf B 分别是 A B 的下界,有
y
1 y y , x ( 0 , 1 ) 也是无界数集. 集合 E x
由无界集定义，E 为无界集.
x
E, y M 1 M
2 确界:
直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多 个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上 确界， 记作sup S；
上确界 M M1 M2 上界
所以
supS max sup A, sup B.
综上,即证得
sup S max sup A, sup B.
例7 证明实数空间满足阿基米德原理. 证明 b a 0 ，要证存在自然数 n 使 na b . ， 2， ） 假设结论不成立，即 na b (n 1
则数集 E {na} 有上界 b ，因此有上确界 c
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一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M,
a M,
有限集
A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B.
数集分类:
设 2）不成立，则 0 0, 使得 x E ，均有 x M 0 ，与 M 是上确界矛盾.
充分性， 用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即 M 是上界，但 M M .令 M M 0 ，
x E ， 由 2） ， 使得 x M M ， 与M 是E
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
sup S max sup A,sup B;
证: 由于S A B显然是非空有界数集
因此S的上， 下确界都存在 x S , 有x A或x B x sup A或x sup B 从而有x max sup A, sup B, 故得 supS max sup A, sup B; 另一方面， x A, x S x sup S sup A sup S , 同理又有sup B sup S.
同样，有下界数集S最大的一个下界称为 数集S的下确界，记作inf S .
下界 m2
m1
m
下确界
定义 2.设 S 为 R 中的一个数集.若数 满足：
确界的精确定义
（i）对一切 x S ，有 x ，即 是 S 的上界；
（ii） 对任何 ， 存在 x0 S ， 使得 x0 ， 即 是 S 的最小上界，则称数 为数集 S 的 上确界，记作 sup S .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
试证明:
x inf A
即
或
x inf B. x min inf A , inf B .
min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
•
•
• •
4.确界与最值的关系: 设 E为数集. ⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界 是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界 原理), 但未必有最值. ⑶ 若 max E 存在, 必有 max E sup E. 对下 确界有类似的结论.
5 确界原理 定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集，若 E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则 E必有下确界。
§1.2 数集· 确界原理
一、区间与邻域 二、上确界、下确界
记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域
U (a; ) { x | 0 | x a | }: 点 a 的 空心邻域
U (a; ) { x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U (a; ) { x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
例2 ⑴
(1 ) n S 1 , n
则
sup S ______, inf S _______ .
2 E y y sin x, x (0, ) . 则 sup E ________, inf E _________.
例3 设数集S有上确界.证明 sup S S max S
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
的上界矛盾.
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定义３ 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数 满足：
（1）对一切 x S , 有 x （即 是Ｓ的下界） ； （2）对任何 ，存在 x0 S ，使得 x0 （即
是Ｓ的下界中最大的一个） ，则称数 为数集Ｓ 的下确界，记作 inf S .
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y. 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且
sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
(a, b) (a, b 为有限数） a, b 、 、 邻域等都是有界数集； 集合 E y y sin x, x ( , )也是有界数集.
( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 等都是无界数集,
1 例1 证明集合 E y y , x ( 0 , 1 ) x 是无界数集. 1 (0, 1) , 证明： 对任意的M 0，x M 1 1
命题 1 M sup E 充要条件 1） M 是 E 上界， 2） 0, x E 使得 x M .
命题 1 M sup E 充要条件 1） M 是 E 上界， 2） 0, x E 使得 x M .
证 必要性，用反证法.
证明 设 (1).若
E {x}非空，有上界 b ：
x E ， x b
E
.
中有最大数 x0 ，则 x0 即为上确界；
(2).若 E 中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；
取 E 的一切上界归入上类 B ，其余的实数归入下类 A ，则 ( A | B) 是实数的一个分划。 1 A,B不空.首先 b B 。其次 x E ，由于
命题 2 inf S 的充要条件： 1） 是Ｓ下界； 2） ＞0， x0 S, 有x0 ＜ .
命题 3：设数集 A 有上（下）确界，则这上（下） 确界必是唯一的.
证：设 sup A ， sup A 且 ，则不妨设
sup A x A 有 x sup A 对 ，x0 A 使 x0 ，矛盾.
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a ) { x a x a }.
即可得出集合E的下确界存在。
定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在 性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研 究的某一类量（如弧长）的存在性。 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们 称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。
例6 设A,B为非空有限数集, S A B. 证明:
a a a 点a的去心的邻域, 记作U 0 (a ).
U (a ) { x 0 x a }.
x
二 有界集 ·确界原理
• • • • • • • 1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界) 数集S有上界 M R, x S有x M. 数集S无上界 M R, x0 S有x0 M. 数集S有下界 L R, x S有x L. 数集S无下界 L R, x0 S有x0 L. M R , x S有 x M. 数集S有界 数集S无界 M R , x0 S有 x0 M.
而 S ，故 是数集 S 中最大的数，即