实数完备性基本定理的相互证明(30个)一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的单调递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,令{}n a sup a =,下面证明:lim n n a a →∞=.对任意的0ε>,由上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得:N a a ε->. 由于{}n a 单调递增,故对任意的n N >,有:n N a a a ε-<<.另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对任意的正整数n 都有:n a a a ε≤<+. 所以任意的n N >,有:n a a a εε-<<+,即:n a a ε-<.由极限的定义,lim n n a a →∞=.同理可证单调递减有下界的数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明:设[]{},n n a b 是一个闭区间套. 令数集{}n S a =.由于任一n b 都是数列{}n a 的上界,由确界原理,数集S 有上确界,设supS ξ=. 下证ξ属于每个闭区间[](),1,2,3,n n a b n =显然,()1,2,3,n a n ξ≤=,故只需证明对任意正整数n ,都有n b ξ≤.事实上,对任意正整数n ,n b 都是S 的上界,而上确界是最小上界,故必有n b ξ≤. 所以存在实数ξ,使得[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理证明:欲证闭区间[],a b 的任一开覆盖H 都有有限的子覆盖. 令[]{}|,S x a x H a x b =<≤能被中有限个开区间覆盖,显然S 有上界.又H 覆盖闭区间[],a b ,所以,存在一个开区间(),H αβ∈,覆盖住了a .取(),x a β∈,则[],a x 显然能被H 中有限个开区间覆盖(1个),x S ∈,从而S 非空.由确界原理,令supS ξ=.先证明b ξ=.用反证法,若b ξ≠,则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ,一定存在开区间()11,H αβ∈,覆盖住了ξ.取12,x x ,使:11211,x x x S αξβ<<<<∈ ,则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖,把()11,αβ加进去,就得到[]2,a x 也能被H 中有限个开区间覆盖,即2x S ∈,这与supS ξ=矛盾,故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈,覆盖住了b .由b supS =,故存在y 使得:2y b α<≤且y S ∈.则[],a y 能被H 中有限个开区间覆盖,把()22,αβ加进去,就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖. 4.确界原理证明聚点定理证明:设S 有界无限点集,则由确界原理令inf S ξ=.若ξ是S 的一个聚点,则命题已经成立,下面设ξ不是S 的聚点.令 ){}|,T x x S ξ=⎡⎣中只包含中有限个元素.因为ξ不是S 的聚点,所以存在00ε>,使得()()000;,U ξεξεξε=-+只包含S 中有限个数,故0T ξε+∈,从而T 非空. 又S 有界,所以S 的所有上界就是T 的上界,故T 有上确界,令sup T η=. 下面证明η是S 的一个聚点.对任意的0ε>,S ηε+∉,故),ξηε+⎡⎣包含S 中无穷多个元素.由上确界的定义,存在(],ληεη∈-,使得S λ∈,故),ξλ⎡⎣中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)(),;U ληεηε+⊂⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素,由聚点的定义,η是S 的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy 收敛准则 证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.令数集{}{}|,n n S x x x x x n =≥∀中只有有限项小于或,明显数列{}n x 的下界都属于S ,并且{}n x 的上界就是S 的上界.由确界存在定理,令sup S ξ=.对条件给定的0ε>和N ,S ξε+∉,故(),ξε-∞+包含{}n x 中无穷多项.由上确界的定义,存在(],λξεξ∈-,使得S λ∈,故(),λ-∞中只包含S 中有限多个元素.从而我们得知)()(),;,U ληεηεηεηε+⊂=-+⎡⎣中包含了S 中无穷多个元素,设()(),1,2,3,k n x U k ξε∈=则对任意正整数n N >,总存在某个k n N >,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=.从而lim n n x ξ→∞=.二.单调有界定理6.单调有界定理证明确界定理证明:我们不妨证明非空有上界的数集S必有上确界.设{}|T r r S =为数集的有理数上界.明显T 是一个可数集,所以假设:{}12,,,,n T r r r =.令{}1min n i i nx r ≤≤=.则得单调递减有下界的数列,由单调有界定理得,令lim n n x ξ→∞= 先证ξ是上界.任取s S ∈,有n n s r x ≤≤,由极限的保序性,s ξ≤.其次对于任意的0ε>,取一个有理数(),r ξεξ∈-,它明显不是S 的上界,否则lim n n x r ξξ→∞=≤<产生矛盾!故存在s S ∈,使得s ξε>-,我们证明了ξ是数集S 上确界.7.单调有界定理证明区间套定理若[]{},n n a b 是一个区间套,则{}n a 为单调递增有上界的数列,由单调有界定理, 令lim n n a ξ→∞=,并且容易得到()1,2,3,n a n ξ≤=.同理,单调递减有下界的数列{}n b 也有极限,并按区间套的条件有:()lim lim 0n n n n n n b a b a ξξ→∞→∞=+-=+=⎡⎤⎣⎦,并且容易得到()1,2,3,n b n ξ≥=.所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证.8.单调有界定理证明有限覆盖定理设[]{}|,,T r a r H r r b =∈≤可以被的开区间有限开覆盖,且.容易得到T 中包含无穷多个元素,并且T 是一个可数集,所以假设:{}12,,,,n T r r r =.令{}1max n i i nx r ≤≤=.则得单调递增有上界的数列,由单调有界定理得,令lim n n x ξ→∞=.先证明b ξ=.用反证法,若b ξ≠,则a b ξ<<.由H 覆盖闭区间[],a b ,一定存在开区间()11,H αβ∈,覆盖住了ξ.取,i j x r y =,使:11i j x r y αξβ<=<<< ,则[]1,a x 能被H 中有限个开区间覆盖,把()11,αβ加进去,就得到[],a y 也能被H 中有限个开区间覆盖,即y S ∈,这与supS ξ=矛盾,故b ξ=.最后证明b S ∈.设开区间()22,H αβ∈,覆盖住了b .由b supS =,故存在k l x r =使得:2k l x r b α<=≤.则[],l a r 能被H 中有限个开区间覆盖,把()22,αβ加进去,就得到[],a b 也能被H 中有限个开区间覆盖. 9.单调有界定理证明聚点定理证明:设S 是一有界无限点集,在S 中选取一个单调{}n a ,下证数列{}n a 有聚点.(1)如果在{}n a 的任意一项之后,总存在最大的项,设1a 后的最大项是1n a ,1n a 后的最大项是2n a ,且显然()2121n n a a n n ≤>; 一般地,将k n a 后的最大项记为1k n a +,则有:()11,2,3,k k n n a a k +≤=.这样,就得到了{}n a 的一个单调递减子列{}k n a .(2)如果(1)不成立 则从某一项开始,任何一项都不是最大的,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项.于是,取11n a a =,因1n a 不是最大项,所以必存在另一项()2121n n a a n n >>又因为2n a 也不是最大项,所以又有:()3232n n a a n n >> ,这样一直做下去,就得到了{}n a 的一个单调递增子列{}k n a .综上所述,总可以在S 中可以选取一个单调数列{}k n a ,利用单调有界定理,{}k n a 收敛,极限就是S 的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy 收敛准则 证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.参考9的做法,可知数列{}n a 有一个单调子列{}k n a ,由单调有界定理,{}k n a 收敛,令lim k n k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >,总存在某个()k k n n N >,使得k n x ξε-<,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.三.区间套定理11.区间套定理证明确界原理证明:仅证明非空有上界的数集S 必有上确界取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含S 中的元素,并且b 为S 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界,则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界,则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =并且每个闭区间[],n n a b 都包含S 中的元素,并且右端点n b 为S 的上界.由于对任意s S ∈,有n s b ≤,所有由极限的保序性,lim n n s b ξ→∞≤=,从而ξ是数集S 的上界.最后,对于任意0ε>,存在n ,使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取,[],n n a b 包含了S 中某个元素s ,从而有n n s a b εξε≥>->-.故ξ是数集S 的上确界. 12. 区间套定理证明单调有界定理设{}n x 是单调有界数列,不妨设其为单调递增且有上界取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含{}n x 中的项,并且b 为{}n x 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为{}n x 的上界,则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为{}n x 的上界,则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中的项,并且右端点n b 为{}n x 的上界.下面证明lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>,存在n ,使得0n n b a ε<-<.由闭区间套的选取,[],n n a b 包含了{}n x 中某一项N x ,从而有N n n x a b εξε≥>->-.由于{}n x 单调递增,故对任意的n N >,有:N n x x ξε-<<. 又n n n x b a εξε<<+<+,故有n x ξεξε-<<+,即n x ξε-<. 13. 区间套定理证明有限覆盖定理若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法,若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =.显然[],a b ξ∈,考虑H 中覆盖ξ的开区间(),αβ,取{}0min ,δξαβξ<<--.由于lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==,所以存在N ,对一切正整数n N >,有,n n a b ξξδ--<,故此时[]()(),;,n n a b U ξδαβ⊂⊂.从而[](),n n a b n N >可以被H 中的一个开区间(),αβ覆盖,产生矛盾!故假设不成立,即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖. 14. 区间套定理证明聚点定理证明:已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =.下证ξ是点集S 的一个聚点.因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==,故对任意的0ε>,必定存在一个N ,对一切正整数n N >,有,n n a b ξξε--<,从而[]()(),;n n a b U n N ξε⊂>.又每个闭区间[],n n a b 包含了点集S 中无穷多个元素,故();U ξε包含了点集S 中无穷多个元素.由聚点的定义,ξ是点集S 的一个聚点.15. 区间套定理证明Cauchy 收敛准则 必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含所有{}n x 中的项.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了{}n x 中无穷多项,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,并且每个闭区间[],n n a b 都包含{}n x 中无穷多项.由区间套定理的得存在ξ属于所有的闭区间[](),1,2,3,n n a b n =现在取一个子列{}k n x ,满足[](),1,2,3,k n k k x a b k ∈=.因为lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==和夹逼定理,lim kn k x ξ→∞=.则对任意正整数n N >,总存在某个()k k n n N >,使得k n x ξε-<,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.四.有限覆盖定理16.有限覆盖定理证明确界原理证明:不妨设S 为非空有上界的数集,我们证明S 有上确界. 设b 为S 的一个上界,下面用反证法来证明S 一定存在上确界.假设S 不存在上确界,取a S ∈.对任一[],x a b ∈,依下述方法确定一个相应的邻域(开区间)()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.(1)若x 不是S 的上界,则至少存在一点x S '∈,使x x '>,这时取x x x δ'=-.(2)若x 是S 的上界,由假设S 不存在上确界,故有0x δ>,使得](,x x x δδ- 中不包含S 中的点.此时取(),x x x U x x δδ=-+,可知它也不包含S 中的点.于是我们得到了[],a b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈ 根据有限覆盖定理,[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显(1)的开区间右端点属于S ,(2)的开区间中不包含S 中的点.显然a 所属的开区间是属于(1)的,b 所属的开区间是属于(2)的,所以至少有一个(1)中的开区间与某个(2)中的开区间相交,这是不可能的.17.有限覆盖定理证明单调有界定理证明:设{}n x 是单调有界数列,不妨设其为单调递增且有上界.任取b 为{}n x 的一个上界以及{}n x 中某项t x ,构造出闭区间[],t x b ,对任意的[],t x x b ∈,依下述方法确定一个相应的邻域(开区间)()();,x x x x U U x x x δδδ==-+.(1) 若x 不是{}n x 的上界,则{}n x 中至少存在一项i x ,使i x x >,这时取x x x δ'=-.(2) 若x 是{}n x 的上界,由假设{}n x 发散,故不会收敛到x .即有存在某个00ε>,对任何正整数N ,存在n N >,使得()()000;,n x U x x x εεε∉=-+.由于{}n x 递增,有上界x ,所以{}n x 中的所有项均不落在()()000;,U x x x εεε=-+中.此时取0x δε=.于是我们得到了[],t x b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x t H U x x x x b δδ==-+∈. 根据有限覆盖定理,[],t x b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖.很明显(1)的开区间右端点属于{}n x ,(2)的开区间中不包含{}n x 中的项.显然t x 所属的开区间是属于(1)的,b 所属的开区间是属于(2)的,所以至少有一个(1)中的开区间与某个(2)中的开区间相交,这是不可能的.18. 有限覆盖定理证明区间套定理 证明:用反证法.假设[]{}(),1,2,3,n n a b n =没有公共点,则对任意一点[]11,x a b ∈,它都不会是[]{}(),1,2,3,nna b n =的公共点,从而存在正整数xn,使得,x x n n x a b ⎡⎤∉⎣⎦.故总存在一个开区间(),x x x U x x δδ=-+,使得:(),,xnx x n nx x a b δδ⎡⎤-+⋂=∅⎣⎦,于是我们得到了[]11,a b 的一个开覆盖:()[]{}11,|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理,[]11,a b 可以被H 中有限个开区间{}1i kx i U =覆盖.注意到闭区间套之间的包含关系,则所有{}1ikx i U =一定和某个最小的闭区间001,,i i k n n n n i a b a b =⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无交.从而:[]{}0000001111,,,,i ik k n n x n n x n n i i a b a b U a b Ua b ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋂⊂⋂=⋂=∅⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭.产生矛盾!19. 有限覆盖定理证明聚点定理证明:设点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.用反证法,假设S 没有聚点.利用聚点定义,对任意的[],x a b ∈,存在一个领域(),x x x U x x δδ=-+,使得x U 中只包含点集S 中有限个点.这样得到了[],a b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理,[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1inx i U =覆盖. 由于每个x U 中只包含点集S 中有限个点,所以[]1,i n x i a b U =⊂也只包含了S 中有限个点,这与S 是无限点集相矛盾!故假设不成立,即S 有聚点. 20. 有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则 证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:(使用反证法)现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<. 先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.假设{}[],n x a b ⊂.若{}n x 发散,则对任意的[],x a b ∈,可以找到一个(),x x x U x x δδ=-+,使得{}n x 中只有有限项落在()0;U x ε中.否则对任何0δ>,(),x x δδ-+中均包含{}n x 中无限项,则可以证明{}n x 收敛.这样得到了[],a b 的一个开覆盖:()[]{},|,x x x H U x x x a b δδ==-+∈.根据有限覆盖定理,[],a b 可以被H 中有限个开区间{}1i nx i U =覆盖. 所以[]1,i n x i a b U =⊂也只包含了{}n x 中的有限项,矛盾!故假设不成立,{}n x 收敛.五.聚点定理21.聚点定理证明确界原理证明:仅证明非空有上界的数集S 必有上确界.取一个闭区间[],a b ,使得[],a b 包含S 中的元素,并且b 为S 的上界.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若2a b +为数集S 的上界,则取[]11,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若112a b +为数集S 的上界,则取[]11221,,2a b a b a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,否则取[]11221,,2a b a b b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b . 由于{}n b 明显有界,所有它有聚点ξ.对任意0,s S ε>∈,设()();,k b U ξεξεξε∈=-+,则k s b ξε≤<+.由ε的任意性,s ξ≤,故ξ是S 的一个上界.其次,对任意0ε>,取()();,k a U ξεξεξε∈=-+,设s S ∈包含于闭区间[],k k a b ,则k s a ξε≥>-.从而我们证明了ξ是S 的一个上确界. 22.聚点定理证明单调有界定理证明:设{}n x 是单调有界数列,则它一定存在聚点ξ.下证:lim n n x ξ→∞=.对任意的0ε>,由聚点的定义,()(),,U ξεξεξε=-+中包含{}n x 中的无穷多项,设{}()(),,kn x U ξεξεξε⊂=-+.则取1N n =,对一切正整数1n N n >=,假设k n n <.利用{}n x 是单调的,nx介于1n x 与k n x 之间,所以由()1,,k n n x x U ξε∈,可知(),n x U ξε∈,从而由极限的定义,lim n n x ξ→∞=23.聚点定理证明区间套定理证明:设{}{}n n S a b =⋃,则S 是有界无限点集 由聚点定理得数集S 聚点ξ.若存在一个某个正整数0n ,使得00,n n a b ξ⎡⎤∉⎣⎦,不妨假设00n n a b ξ<<.取00n b εξ=-,则对一切0n n >,有00n n n a b b ξε<≤=-.于是()()000;,U ξεξεξε=-+中只包含S 中有限个点,这与ξ是数集S 的聚点矛盾!故[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证.24.聚点定理证明有限覆盖定理证明:若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法,若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,并且[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖显然,{}n a 是有界的,故它存在聚点ξ.明显[],a b ξ∈.考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--,则在()();,U ξεξεξε=-+中包含了{}n a 中的无穷多项,设{}()();,kn a U ξεξεξε⊂=-+.又()02n n nb aba n --=→→+∞ 于是存在某个0k n ,使得0k k n n b a βξε-<--故0n a ξεα>->;()00n n b a βξεξεβξεβ<+--<++--=. 故[]00,,n n a b αβ⎡⎤⊂⎣⎦.这与[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖矛盾!故假设不成立,即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.25.聚点定理证明Cauchy 收敛准则 证明:必要性:若lim n n x x →∞=,则对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有2n x x ε-<.于是对一切,m n N >,有22m n m n x x x x x x εεε-≤-+-<+=.充分性:现假设{}n x 满足对任意的0ε>,存在N ,对一切正整数,n m N >,有n m x x ε-<.先证明柯西数列是有界的.取01ε=,故存在某个正整数0N ,对一切n ,有011n N x x +-<,即011n N a a +≤+.故{}n x 有界.故它存在聚点,设为ξ.对条件中的0ε>,由聚点的定义,假设{}()();,k n x U ξεξεξε⊂=-+ 则对任意正整数n N >,总存在某个()k k n n N >,使得k n x ξε-<,故有:2k k n n n n x x x x ξξεεε-≤-+-≤+=..从而lim n n x ξ→∞=.六.Cauchy 收敛准则26. Cauchy 收敛准则证明确界原理证明: 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在整数k α ,使得k ααλα=为S 的上界,而()1k ααλαα-=-不是S 的上界, 即存在S α'∈使得()1k ααα'>- 分别取()11,2,3,n n α==,则对每一个正整数n ,存在相应的n λ,使得nλ为S 的上界,而1n nλ-不是S 的上界,故存在S α'∈,使得1n nαλ'>-又对正整数m ,m λ是S 的上界,故有m λα'≥.所以1m n n λαλ'≥>-,即有1m n m λλ-<.同理有1m n nλλ-<,于是得到11min ,m n m n λλ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭.于是,对任意的0ε>,存在正整数N ,使得当,m n N >时有m n λλε-<. 由柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=现在证明λ就是S 的上确界.首先,对任何S α∈和正整数n ,有n αλ≤,有极限的保序性,lim n n αλλ→∞≤=,故λ是S 的上界其次,对于任意的0δ>,存在充分的的正整数n ,使得12n δ<并且2n δλλ>-. 由于1n n λ-不是S 的上界,所以存在S α'∈,并且1n n αλ'>-.于是122n n δδαλλλδ'>->--=-.故λ就是S 的上确界. 27. Cauchy 收敛准则证明单调有界定理证明:设{}n x 是单调有界数列,不妨假设{}n x 单调递增有上界.若{}n x 发散,则又柯西收敛准则,存在00ε>,对一切正整数N ,存在m n N >>,使得0m n m n x x x x ε-=-≥.于是容易得到{}n x 的子列{}k n x ,使得10k k n n x x ε+-≥.进而()101k n n x x k ε>+-故()k n x k →+∞→∞,这与{}n x 是有界数列矛盾!所有假设不成立,即{}n x 收敛. 28. Cauchy 收敛准则证明区间套定理证明:设[]{},n n a b 为闭区间套.因为lim 0n n n a b →∞-=,所以对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>,m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<;m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<,由柯西收敛准则,{}{},n n a b 均收敛,而且是同一极限,设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增,{}n b 单调递减,由极限的保序性, 所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=下证唯一性,假设还有另外一点ξ',也满足[](),1,2,3,n n a b n ξ'∈=.则()0n n b a n ξξ'-<-→→∞,故有:ξξ'=.唯一性得证.29.Cauchy 收敛准则证明有限覆盖定理证明:若闭区间[],a b 可以被H 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.用反证法,若闭区间[],a b 不能被H 有限开覆盖.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间不能被H 有限开覆盖,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,并且[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖.因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==,所以对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>,m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<;m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<,由柯西收敛准则,{}{},n n a b 均收敛,而且是同一极限,设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.由于{}n a 单调递增,{}n b 单调递减,由极限的保序性, 所以[](),1,2,3,n n a b n ξ∈=.考虑H 覆盖中覆盖住ξ的开区间(),αβ.取{}min ,εξαβξ<--,则存在正整数N ,对一切n N >,,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεαβ⊂⊂.这与[](),1,2,3n n a b =均不能被H 有限开覆盖矛盾!故假设不成立,即闭区间[],a b 可以被H 有限开覆盖.30. Cauchy 收敛准则证明聚点定理证明:已知点集S 是有界无限点集.设[],S a b ⊂.将闭区间[],a b 等分为两个闭区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]11,a b ;再将闭区间[]11,a b 等分为两个闭区间111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦与111,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中必有一个区间包含了点集S 中无穷多个元素,设它为[]22,a b .不断进行下去,这样得到了一个闭区间套[]{},n n a b ,每个闭区间包含了点集S 中无穷多个元素. 因为lim lim02n n nn n b aa b →∞→∞--==,所以对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,有n n n n a b b a ε-=-<从而对任意的m n N >>,m n m n n n a a a a b a ε-=-<-<;m n n m n n b b b b b a ε-=-<-<,由柯西收敛准则,{}{},n n a b 均收敛,而且是同一极限,设lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.下证ξ是S 的一个聚点.对任意的0ε>,存在正整数N ,对一切n N >,,n n a b ξξε--<.即有[]()(),;,n n a b U ξεξεξε⊂=-+.故()();,U ξεξεξε=-+中包含了S 中无穷多个元素,由聚点的定义,ξ是S 的一个聚点.。