§1.2 数集和确界原理授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.一、 区间与邻域(一) 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中 {}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧⎪∈<<=⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间(二) 邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？1、a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.2、点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .3、a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+4、点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<5、∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中M 为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二、有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三、 确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=定义'2（上确界的等价定义）设E 是R 中的一个数集，若数M 满足：1） M 是E 上界，2） E x ∈'∃>∀,0ε使得ε->'M x .则称数M 为数集E 的上确界。

定义3（下确界） 设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.定义'3（下确界的等价定义）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：1）ξ是S 下界；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+则称数ξ为数集S 的下确界。

上确界与下确界统称为确界.注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明 设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例 sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a .例3 设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃ 则有 .inf inf ,sup sup A S A S ≤≥.例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤ 则有.inf sup B A ≤证明 ,B y ∈∀ y 是A 的上界, .sup y A ≤⇒ A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例5 A 和B 为非空数集, .B A S = 试证明: {}. inf , inf min inf B A S =证明 ,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈ 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf min .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf min B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf min inf B A S ≥⇒ 又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf ⇒是A 的下界, ;inf inf A S ≤⇒ 同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf min inf B A S ≤.综上, 有 {} inf , inf min inf B A S =.1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3⑵为例做解释.2、确界与最值的关系: 设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.（2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.（3） 若E max 存在, 必有 .sup max E E = 对下确界有类似的结论.3、确界原理:定理1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.这里我们给一个可以接受的说明.⊆E R ，E 非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1+p 是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1）S x ∈∀，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n １０等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ． 再对开区间].,.(10111+n n n n １０等分，同理存在2n ，使得 1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明 S inf =η．1) 对任意S x ∈，η>x ；2) 对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．作业： P9 1（2），（3）； 2； 4（1）、（3）；6。