本材料是关于线性常差分方程基本知识的笔记，参考了两个文献：1、《差分方程》【日】福田武雄著穆鸿基译上海科学技术出版社1962年9月第一版2、《常差分方程》王联、王慕秋著新疆大学出版社1991年2月第一版目录第一节差分第二节和分第三节对步长及定义域的约定第四节阶乘多项式与差分第五节Bernoulli多项式与差分第六节几个公式,例题第七节n阶线性常差分方程的解的结构第八节 Lagrange变易常数法第九节解n阶常系数齐次线性方程的特征根方法第十节常系数对称型线性方程的解第十一节几种特殊常系数非齐次线性方程的解法第一节 差分定义1.1：设函数()x f 的定义域是D ，R D ⊂，R x ∈∆，0≠∆x ，D x ∈∀有D x x ∈∆+，定义算子∆为()()()x f x x f x f -∆+=∆称x ∆是x 的变化步长，()x f ∆是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶差分、阶差、有限差；D x ∈，函数()x f ∆称为D 上的差分函数，简称差分；算子∆是步长为x ∆的差分算子。

定义为()()x x f x f ∆+=E称()x f E 是()x f 在x 处的步长为x ∆的一阶位移；称函数()x f E 是D 上的位移函数，简称位移；算子E 是步长为x ∆的位移算子。

定义算子I 为()()x f x f =I称算子I 为恒等算子。

称函数()xx f ∆∆是D 上的差商函数，简称差商。

约定算子∆与算子E 的步长相等。

注1.1：大写希腊字母∆、E 、I 的小写形式是δ、ε、ι，其英文单词形式是delta /`delt ә/ 、epsilon /ep`sail әn/ 、 iota /ai`әut ә/ 。

若D x ∈∀，有D x x ∈∆+，则N n ∈∀，有D x n x ∈∆+。

定理1.1：算子∆、E 、I 有以下关系：①()()()()()x f x f x f x f I -E =I -E =∆，即I -E =∆。

②()()()()()x f x f x f x f I +∆=I +∆=E ，即I +∆=E 。

③()()()()x f x f E ∆=∆E ，即∆E =E∆。

定理1.2：算子∆、E 是线性算子。

对R b a ∈,，函数()x f 与()x g ，有以下等式()()()()()x g b x f a x bg x af ∆+∆=+∆ ()()()()()x g b x f a x bg x af E +E =+E定义1.2：设N n ∈，作递推定义()()()x f x f x f =I =∆0，()()()x f x f n n ∆∆=∆+1()()()x f x f x f =I =E 0，()()()x f x f n n E E =E +1称()x f n ∆是()x f 在x 处的步长为x ∆的n 阶差分；称()x f n E 是()x f 在x 处的步长为x ∆的n 阶位移；称n ∆是步长为x ∆的n 阶差分算子；称n E 是步长为x ∆的n 阶位移算子。

凡阶数大于1的差分与位移，称为高阶差分与高阶位移。

注1.2：N n m ∈∀,，有()()()()x f x f m n n m ∆E =E ∆。

定理1.3：N n ∈∀，有()()∑=-E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=I -E =∆ni in i nni n 01 ()∑=-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=I +∆=E ni in nni n 0 其中，组合系数()!!i n i n i n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，n i ,,3,2,1,0 =． 证明：用数学归纳法。

定义1.3：设二元函数()y x f ,的定义域是D ，()D y x ∈∀,，有()D y x x ∈∆+,，R x ∈∆，0≠∆x ，记()()()y x f y x x f y x f x ,,,-∆+=∆称()y x f x ,∆是()y x f ,在()y x ,处对x 的步长为x ∆的一阶偏差分。

定理1.4：对函数()x f 与()x g ，有以下等式()()()()()()()g f f g g f f g f g g f g f g f ∆⋅+∆⋅+∆⋅∆=∆⋅+E ⋅∆=∆⋅+E ⋅∆=⋅∆gg g f f g g f E ⋅∆⋅-∆⋅=∆，其中g 与g E 不取零值。

证明：参考类似的求导公式的证明。

定理1.5（Leibniz 法则）：对函数()x f 与()x g ，有()()()()()()()∑∑----∆E ⋅∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆E ⋅∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∆niin in nii n i n nf g i n g f i n g f证明：用数学归纳法。

定义1.4：设函数()x f 的定义域是D ，若D x ∈∀，()()()0=-∆+=∆x f x x f x f ，则称()x f 是D 上的以x ∆为周期的周期函数。

注1.3：① 设()x p 是D 上的周期函数，对D 上的任意函数()x f ，按定理1.4，有()()()()()x f x p x f x p ∆⋅=⋅∆。

② 设()x p 1与()x p 2是D 上的周期函数，R b a ∈,，则()()x bp x ap 21+也是D 上的周期函数。

定理 1.6：设函数()x f 的定义域是D ，()x f 是D 上的周期函数的充分必要条件是，D x ∈∀，()()x f x f =E 。

推论1.6.1：设函数()x f 的定义域是N ，1=∆x ，则()x f 是N 上的周期函数的充分必要条件是，()x f 是N 上的常值函数。

定理1.7：对D 上的函数()x f 与()x g ，若D x ∈∀，()()x g x f ∆=∆，则()x f 与()x g 只相差D 上的一个周期函数。

即存在D 上的周期函数()x p ，满足()()()x p x g x f +=。

第二节 和分定义2.1：若D x ∈∀，D 上的函数()x f 与()x F 有以下关系()()x f xx F =∆∆，或，()()x x f x F ∆=∆ 即，()x f 是()x F 在D 上的差商函数，则称()x F 是()x f 在D 上的步长为x ∆的和分函数，简称和分。

注2.1：设()x F 1与()x F 2是()x f 在D 上的任意两个和分，按定义，有()()()x x f x F x F ∆=∆=∆21，按定理1.7，()x F 1与()x F 2只相差D 上的一个周期函数。

所以，设()x F 是()x f 的一个和分，()x p 是D 上的任意一个周期函数，则()()x p x F +就代表()x f 在D 上的任意一个和分。

定义2.2：如上，记()()()x p x F x x f +=∆∑，称()∑∆x x f 是()x f 在D 上的步长为x ∆的不定和分。

注2.2：在文献1中，作者用符号“”表示和分。

在文献2中，作者用“∑”表示和分。

定理2.1：对函数f ，g ，不定和分有以下性质 ①R b a ∈,，()∑∑∑∆+∆=∆+x g b x f a x bg af②设p 是周期函数，∑∑∆=∆x f p x pf③()()∑∑∆∆⋅E -⋅=∆∆⋅x f g g f x g f定义2.3：设()x F 是()x f 在D 上的和分，()x p 是D 上的任意一个周期函数，则()()x p x F +就代表()x f 的任意一个和分，D a ∈，N n ∈，D b x n a ∈=∆+，记()()()()()()()()()a F b F a p a F b p b F x x f ba-=+-+=∆∑称()∑∆bax x f 是()x f 在[]b a ,上的步长为x ∆的定和分。

a 是定和分下限，b 是定和分上限。

约定()()()()()a F b F abx F a b x x f x x f b a-==∆=∆∑∑注2.3：①作为一个记号，在()∑∆x x f ，()∑∆b ax x f ，()abx x f ∑∆中的x ∆不能换成数值，也不能省略。

②按差商与和分的定义，有()()()()()x x i a f x i a F x i a F x i a F ∆∆+=∆+-∆++=∆+∆1， ,3,2,1,0=i ，所以，()()()()()()()()()()()()∑∑∑∆+-=∆=∆+=∆∆-+++∆++=-∆+=-=∆x n a an i baxx f x i a f x x n a f x a f a f a F x n a F a F b F x x f 11 可见，定和分是有限求和运算。

③设Z t s ∈,，s ≤t ，函数()x f 的定义域是Z ，()x F 是()x f 的和分，步长1=∆x ，则()()()()()∑∑∑+-==∆=-+=+=101t sst i tsi x x f s F t F i t f i f可见，有限求和运算是定和分。

第三节 对步长及定义域的约定记1∆是步长等于1的差分算子，在D 上的差分()()()x f x x f x f -∆+=∆中作代换x y x ∆=，记()()()y g x y f x f =∆=，有()()()()n y g x n y f x n x f +=∆+=∆+()()()()()()()y g y g y g x y f x y f x f 111∆=-+=∆+-∆+=∆可见，1∆可以代换∆。

为方便，约定所论差分与位移的步长都等于1。

从步长等于1的约定。

设函数()x f 的定义域是D ，记()()n r n x f =+，N n ∈，则函数()x r 的定义域是N ，有()()()()010r r r x f -=∆=∆()()()()∑∑∑∑∆==+=∆-=-=+nn i n i n x xx x r i r i x f x x f 011可见，()x r 的定义域是N 可以代换()x f 的定义域是D 。

为方便，约定所论函数定义域为N 。

定理3.1：设函数()x f 的定义域是N ，N n ∈，有()()()()()0000f i n f f n f ni i n nn∑=-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=I +∆=E =定理3.2：设函数()x f 的定义域是N ，N n k ∈,，1≤k ≤n ，有()()()j f k j n f i n n f kkn j k i i ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑-=-=010110定理3.3：设函数()x f 的定义域是N ，N n k j ∈,,，1≤k ≤n ，j ≤k ，有()()()∑∑+-=-=∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆jk n s kk j i i is f j k s n f j i n n f 01110以上三个定理称为“离散的泰勒（Taylor ）公式”，可用数学归纳法证明。