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有限差分法基本知识


T u ( x x x , t ) u ( x x , t ) x g x 2 u ( t x 2 , t ) x x x F ( , t ) d x
等号两边用中值定理:并令 x0
T 2 u (x ,t)g 2 u (x ,t) F (x ,t) 等号两边除以
(1)要研究的物理量是什么? 弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
(2)被研究的物理量遵循哪些 物理定理?牛顿第二定律.
(3)按物理定理写出数学物 理方程(即建立泛定方程)
条件:均匀柔软的细弦,在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。
研究对象:u ( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
x 2
t2
2ua22ugf(x,t) t2 x2
f (x,t) F(x,t)

为单位质量在 x 点处所受外力。
弦振动方程中只含有两个自变量:x , t 。由于它描写的是
弦的振动,因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波 动方程(如膜振动)和三维波动方程,它们的形式分别为:
其中:c o s 1c o s' 1
y
横向: T (x ) T (x x )' 0
也就是说,张力 T 是一个常数。
M'
s
T'
'
M

gs
T
x
x x x
纵向: T ( x ) s i n T ( x x ) 's i n ' s g s a
a 为 小 弦 段 在 纵 向 的 加 速 度
s i n t a n u ( x , t ) ,s i n ' t a n ' u ( x x , t )
x
x
T u ( x x x ,t ) u ( x x ,t ) x g x 2 u ( t x 2 ,t ) 0
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + ),分析受力:
通过截面x,受到弹性力P()S的作用 通过截面x + 受到弹性力P(x + , t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正.
根据第二定律,就得到:
P (x d x,t) P (x,t)SS d x 2 tu 2
根据胡克定律 P E u
x
2u E 2u 0
t2 x2
2tu2 a2
2u x2
0
令:a
E


2u t 2

P x
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
设ρ为空气的密度,u为压力诱导的速度,由一维欧拉方程:

u u 0
t x x

u u u 1 p t x x

a2 p Biblioteka 动力学方程 连续性方程 物态方程
考虑到微小压力波,u 是一阶小量,u 和uu是二阶小量
x x
t u x, u t 1 p x
二维波动方程:
2 tu 2a2 x 2u 2 y 2u 2 f(x,y,t)
三维波动方程: 2 tu 2 a 2 x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 f(x ,y ,z,t)
建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。 由于客观事物的复杂性,要求对所研究的对象 能够抓住事物发展的主要因素,摈弃次要因素, 使问题得到适度的简化。
间无关。即 x 点处的张力记为T ( x )。
由于弦是柔软的,弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
由于振幅极小, 张力与水平方向的夹角很小。
作用在这段弦上的力有张力和惯性力,下面根据牛顿
运动定律,写出它们的表达式和平衡条件。
横向:T ( x ) c o s T ( x x ) 'c o s'
x
x x x
2u(tx2,t)T u 2(xx2,t)g
令: a 2 T
a 就是弦的振动传播速度
2ua2 2ug
t2
x2
………一维波动方程
自由项 非齐次方程
忽略重力作用:
2u a2 2u
t2
x2
齐次方程
当存在外力作用时:
假设外力在 x 处外力密度为:F (x, t) 方向垂直于 x 轴。
由中值定理:
u ( x x , t ) u ( x , t ) 2 u ( x x , t ) x0 1
x x
x 2
y
令 x 0 , 此 时 x x x
M'
s
T'
'
T 2 u ( x x 2 ,t) x x g x 2 u ( tx 2 ,t) 0T M gs
简化假设:
在弦上任取一小段 (x,xx)它的弧长为:
xx
s x
1( u x)2dx
y
M'
s
T'
'
M

gs
T
x
x x x
由于假定弦在平衡位置附近做微小振动, u 很小,从而
x
xx
s 1dxx
可以认x为这段弦在振动中没有伸长,由胡克定律可 知,弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变,与时
8.1 预备知识
三类典型的偏微分方程
8.1.1 波动方程
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。
一根紧拉着的均匀柔软弦,长为l,两端固定在X轴上O、 L两点,当它在平衡位置附近做垂直于方向的微小横向振动 时,求这根弦上各点的运动规律。
y
O
Lx
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。 要确定弦的运动方程,需要明确:
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