高二数学寒假作业（四）
一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.公比为2的等比数列{an)的各项都是正数，且=16，则a6等于
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )
3.一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A ．8 B ．7 C ．6
D ．5
4.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为
A.
26 B. 23 C. 3
6
D. 33
5.在060,20,40===∆C c b ABC 中，已知，则此三角形的解为（ ） A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定
6.若n ＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是 A ．(1，－2,0) B ．(0，－2,2) C ．(2，－4,4) D ．(2,4, 4)
7.已知点(3,1,4)A --，(3,5,10)B -则线段AB 的中点M 的坐标为 （ ） A. ()0,4,6-
B. ()0,2,3-
C. ()0,2,3
D. ()0,2,6-
8.已知椭圆12222=+b x a y ( a > b > 0) 的离心率为1e ，准线为1l 、2l ；双曲线
1322
22=-b y a x 离心率为2e ，准线为3l 、4l ；；若1l 、2l 、3l 、4l 正好围成一个正方形，则21
e e 等于（ ）
A.
33 B .36 C.2
2
D. 2 9.下列命题是真命题的为 ( ) A ．若
11
x y
=,则x y = B ．若21x =,则1x =
C ．若x y =,
D ．若x y <,则 22x y <
二、填空题
10.已知条件p ：1≤x ，条件q ：
11
<x
，则p ⌝是q 的_____________________条件. 11.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+=的最小值为 .
12.设椭圆22162x y +=和双曲线2
213
x y -=的公共焦点为1F ,2F ,P 是两曲线的一个交点，
12cos PF F ∠的值是 。

13.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________. 三、计算题
14.在等差数列{}n a 中,246,20a S ==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设**122
(),()(12)
n n n n b n N T b b b n N n a =
∈=++
+∈-,求n T .
15.（本题满分14分） 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

（1）若32=b ，2=c ，求ABC ∆的面积；
（2）若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，试判断ABC ∆的形状。

16.如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 是梯形,
90EFA FAB ∠=∠=，1EF FA AD ===， 点M 是DF
的中点，
2CM =
.
（1）求证：BF ∥平面AMC ； （2）求二面角B AC E --的余弦值.
高二数学寒假作业（四）参考答案
一、选择题
1~5 BCDDC 6~9CBAA 二、填空题
10. 充分不必要， 11 . -6 ,12. 1
3
,13.2 三、计算题 14.解：（1）设
{}n a 的公差为d ,由题意得116
4620
a d a d +=⎧⎨
+=⎩ 解得
182
{a d ==- 得:82(1)102.n a n n =--=- （2）∵2111
(12)(1)1
n n b n a n n n n =
==--++
1
)111()3121()211(321+=+-+⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=n n
n n b b b b T n n
15.因为A ，B ，C 成等差数列，所以C A B +=2。

又A ＋B ＋C ＝π，所以3
π
=
B .
（1）解法一：因为32=b ，2=c ，所以 由正弦定理得
C
c
B b sin sin =，即B c
C b sin sin =，即2
3
2sin 32⨯
=C ，得21sin =C .
因为c b >，所以C B >，即C 为锐角，所以6
π
=C ，从而2
π
=
A .
所以322
1
==bc S ABC △.……………………7分
解法二：由余弦定理得B ac c a b cos 22
22-+=，
即0822
=--a a ，得4=a .
所以322
3
2421sin 21=⨯⨯⨯==B ac S ABC △.……………………7分 （2）因为A sin ，B sin ，C sin 成等比数列，所以C A B sin sin sin 2
⋅=.
由正弦定理得ac b =2； 由余弦定理得222c a b +=ac c a B ac -+=-2
2cos 2.
所以ac c a ac -+=2
2，即()02
=-c a ，即c a =。

又因为3
π
=
B ，所以△AB
C 为等边三
角形.……14分
16.（1）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点. ∵点M 是DF 的中点，∴MG 是△BDF 的中位线. ∴//.BF MG
∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ，∴//BF 平面AMC （2） 四边形ABEF 是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，AB AF ∴⊥ 又四边形ABCD 是矩形，AD AB ∴⊥， 又AD
AF A =，AB ADF ∴⊥面
又//BC AD ，CD ADF ∴⊥面CD DF ∴⊥，
在Rt △CDM
中，
12DM DF =
=
，CM =
由222
CD DM CM +=可求得2AB CD ==… 7分
以A 为原点，以AF 、AB 、AD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
∴0,0,0()A ，0,2,1()C ，1,1,0()E ，1,0,0()F ， ∴0,2,1()AC =，1,1,0()AE =，1,0,0()AF =. 设平面ACE 的法向量,,()x y z n =，
∴0n AC ⋅=，0n AE ⋅=. ∴ 20,0.
y z x y +=+=⎧⎨
⎩
令1x =，则1y =-，2z =. ∴()
1,1,2n =-.
又AF 是平面ACB 的法向量，
∴
cos ,n AF
n AF n AF ⋅
=
⋅6== 如图所示，二面角B AC E --
为锐角.
∴二面角B AC E --的余弦值是6。