专题1 常用逻辑用语
【学一学】
学一学------基础知识结论 四种命题及其关系
（1）四种命题的命题结构：
用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用,p q ⌝⌝分别表示p 和q 的否定，四种形式就是：
原命题：“若p ，则q ”；逆命题：“若q ，则p ”； 否命题：“若p ⌝，则q ⌝”；逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”．
（2）四种命题间的相互关系：
互为逆否的两个命题是等价的，具有相同的真假性，因此在直接证明原命题有困难时可以通过证明与它等价的逆否命题来证明原命题成立，四个命题中真命题只能是偶数个，即0个，2个或4个 复合命题及其真假判断
（1）复合命题有p q ∧（p 且q ），p q ∨（p 或q ），p ⌝，其分别与集合运算中的
原 命 题 若p 则q
逆 命 题 若q 则p
逆 否 命 题
若q ⌝
则p ⌝
否 命 题 若p ⌝
则q ⌝
互逆
互逆
互
否
互
否
互 为 逆 否
互 为
逆
否
交、并、补对应. （2）复合命题的真值表
充分条件与必要
条件
p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间
有包含关系：Q P ⊆，即
P Q 或Q P =，必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于Q P =.
以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p ，则q ”为真；②p ⇒q ；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件. ４．全称命题和特称命题的否定
（1）全称量词用符号“∀”表示，表示所有的意思；存在量词用符号“∃”表示，表示存在一个的意思.
（2）全称命题:,()p x M p x ∀∈，它的否定是00:,()p x M p x ⌝∃∈，全称命题的否定是特称命题；特称命题00:,()p x M p x ⌝∃∈，它的否定是:,()p x M p x ∀∈，特称命题的否定是全称命题.
学一学------方法规律技巧 抓住量词，对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容的重要概念，解决此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应
p
q p 且q p 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假
假
假
假
的含义，从而对症下药．
例1.已知命题p ：∃x ∈R ，mx2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x2＋mx ＋1＞0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )
A ．m ≥2
B ．m ≤－2
C ．m ≤－2或m ≥2
D ．－2≤m ≤2
2.挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题（原命题与逆否命题或逆命题与否命题）一定同真同假，它们是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真.
例2. 已知p ：|1－x －1
3|≤2，q ：x2－2x ＋1－m2≤0(m ＞0)，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】m ≥9
【解析】∵p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件， 由q ：x2－2x ＋1－m2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}，
补集思想的运用
对于某些问题，如果从正面求解困难，则可先考虑求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将研究对象的全体，作为全集，求出使问题反面成立的集合A，则A的补集即为所求.
例3．已知命题p：“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题⌝p是假命题，则实数m的取值范围是__________(用区间表示)．
【答案】(－∞，1]
【解析】若⌝p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解．由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.
4．分类讨论思想的运用
分类讨论是根据数学对象本质属性的相同点和不同点，确定划分标准，进行分类，逻辑中的分类讨论主要是由逻辑结构以及相关参数引起的．
例４．设有两个命题p、q.其中p：对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立；命题q：f(x)＝(4a－3)x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是__________．
综上，a 的取值范围是)
1,43(∪(1，＋∞)．。