B
1.1 正弦、余弦定理
一、知识点
1．正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===外（R 为外接圆的半径） (1)C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== C B A c b a sin :sin :sin ::=
注意：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解 2．余弦定理：a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA , 222
cos 2b c a
A bc
+-=
；
3、面积公式：S=
21a bsinC=21bcsinA=2
1
c a sinB 利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

二、例题
【例1】（1）在ABC ∆中，已知A=ο
45，B=ο
30，c=10，求b ； （2）在ABC ∆中，已知A=ο45，2,2==b a ，求B ；
【例2】（1）在ABC ∆中，已知,7:5:3::=c b a 求ABC ∆的最大角；
（2）在ABC ∆中，已知,3:2:::x c b a =求ABC ∆为锐角三角形时x 的取值范围。

【例3】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 和边c 及其面积。

【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有(
)(
)
B b a
C A R sin 2sin sin 222-=-成立，求△ABC
面积S 的最大值．
【例5】不解三角形，判断下列三角形解的个数
（1）ο120,4,5===A b a (2)ο
150,14,7===A b a （3）ο
60,10,9===A b a （4）ο
135,72,50===C b c
三、练习
1．在ABC ∆中，角,,A B
C 的对边分别为,,a b c ，已知,1
A a b π
===，则c =（ ）
A.1
B.2
1
2．在△ABC 中，A=︒60，b=1，且面积为3，则
=++++C
B A c
b a sin sin sin （ ）
A. 338
B. 3392
C. 3
326 D. 32
3．在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4. 已知△ABC 中，a=1，b=3，A=︒30，则角B 等于（ ）
A. ︒60
B. ︒60或︒120
C. ︒30或︒150
D. ︒120
5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且2
223a bc c b =++，则A 等于（ ）
A. ︒60
B. ︒30
C. ︒120
D. ︒150
6、 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(2
22=
-+，则角B 的值为（ ）
（1）
6π B. 3π C. 6π或65π D. 3π或3
2π 7、满足条件a=4,b=23,A=︒45的△ABC 的个数是 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 无数个
D. 不存在
8、在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .
9、在ABC ∆中，若120A ∠=o
，
5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________10、 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，满足条件222
a bc c b
=-+和
32
1
+=b c ，求A ∠和B tan 的值．
11、若c b a 、、是△ABC 的三边，直线0=++c by ax 与圆12
2=+y x 相离，试判断△ABC 的形状。

12、已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωωϕω<
>>+=A x A x f 在一个周期内的图象 下图所示。

（1）求函数的解析式；
（2）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和。

.。