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必修五正弦定理和余弦定理

必修五第一讲 正弦定理知识梳理1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =csin C.2.解三角形:一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.题型分析[例1] 在△ABC 中,已知a [解] A =180°-(B +C )=180°-(60°+75°)=45°.由b sin B =a sin A 得,b =a sin B sin A =8×sin 60°sin 45°=46,由a sin A =c sin C得,c =a sin C sin A =8×sin 75°sin 45°=8×2+6422=4(3+1).∴A =45°,b =46,c =4(3+1). [变式训练]在△ABC 中,已知c =10,A =45°,C =30°,解这个三角形. 解:∵A =45°,C =30°,∴B =180°-(A +C )=105°.由a sin A =c sin C 得a =c sin A sin C =10×sin 45°sin 30°=10 2. 由b sin B =c sin C 得b =c sin B sin C =10×sin 105°sin 30°=20sin 75°,∵sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =2+64,∴b =20×2+64=52+5 6.[例2] 在△ABC [解] ∵a sin A =c sin C ,∴sin C =c sin Aa =6×sin 45°2=32,∴C =60°或C =120°.当C =60°时,B =75°,b =c sin B sin C =6sin 75°sin 60°=3+1; 当C =120°时,B =15°,b =c sin B sin C =6sin 15°sin 120°=3-1. ∴b =3+1,B =75°,C =60°或b =3-1,B =15°,C =120°. [变式训练]在△ABC 中,若c =6,C =π3,a =2,求A ,B ,b .解:由a sin A =c sin C ,得sin A =a sin C c =22.∴A =π4或A =34π.又∵c >a ,∴C >A ,∴只能取A =π4, ∴B =π-π3-π4=5π12,b =c sin Bsin C=6·sin 5π12sinπ3=3+1.[例3] 在△ABC 中,sin 2 A =sin 2 B +sin 2 C ,且sin A =2sin B ·cos C .试判断△ABC 的形状.[解] 由正弦定理,得sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R.∵sin 2 A =sin 2 B +sin 2 C ,∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2=⎝⎛⎭⎫b 2R 2+⎝⎛⎭⎫c 2R 2, 即a 2=b 2+c 2,故A =90°.∴C =90°-B ,cos C =sin B .∴2sin B ·cos C =2sin 2 B =sin A =1. ∴sin B =22.∴B =45°或B =135°(A +B =225°>180°,故舍去).∴△ABC 是等腰直角三角形. [变式训练]在△ABC 中,若b =a cos C ,试判断该三角形的形状.解:∵b =a cos C ,a sin A =bsin B=2R .(2R 为△ABC 外接圆直径)∴sin B =sin A ·cos C .∵B =π-(A +C ),∴sin (A +C )=sin A ·cos C .即sin A cos C +cos A sin C =sin A ·cos C , ∴cos A sin C =0,∵A 、C ∈(0,π),∴cos A =0,∴A =π2,∴△ABC 为直角三角形.[随堂检测]1.(2012·广东高考)在△ABC 中,若∠A =60°,∠B =45°,BC =32,则AC =( )A .43B .2 3 C. 3D.32解析:选B 由正弦定理得:BC sin A =AC sin B ,即32sin 60°=AC sin 45°,所以AC =3232×22=23,故选B.2.在△ABC 中,a =5,b =3,C =120°,则sin A ∶sin B 的值是( A )A.53B.35C.37D.573.在△ABC 中,若(sin A +sin B )(sin A -sin B )=sin 2 C ,则△ABC 是________三角形. 解析:由已知得sin 2 A -sin 2 B =sin 2 C ,根据正弦定理知sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R,所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2-⎝⎛⎭⎫b 2R 2=⎝⎛⎭⎫c 2R 2,即a 2-b 2=c 2,故b 2+c 2=a 2.所以△ABC 是直角三角形.答案:直角 4.(2012·北京高考)在△ABC 中,若a =3,b =3,∠A =π3,则∠C 的大小为________.解析:由正弦定理可知sin B =b sin Aa =3sin π33=12,所以∠B =π6或5π6(舍去),所以∠C =π-∠A -∠B =π-π3-π6=π2. 5.不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a =5,b =4,A =120°; (2)a =7,b =14,A =150°; (3)a =9,b =10,A =60°. 解:(1)sin B =b sin 120°a =45×32<32,所以△ABC 有一解.(2)sin B =b sin 150°a=1,所以△ABC 无解.(3)sin B =b sin 60°a =109×32=539,而32<539<1,所以当B 为锐角时,满足sin B =539的B 的取值范围为60°<B <90°.当B 为钝角时,有90°<B <120°,也满足A +B <180°,所以△ABC 有两解.课后作业一、选择题1.在△ABC 中,下列式子与sin A a的值相等的是( )A.b cB.sin B sin AC.sin C cD.csin C解析:选C 由正弦定理得a sin A =c sin C ,所以sin A a =sin Cc. 2.(2013·浏阳高二检测)在△ABC 中,若sin A >sin B ,则A 与B 的大小关系为( )A .A >B B .A <BC .A ≥BD .A 、B 的大小关系不确定解析:选A ∵sin A >sin B ,∴2R sin A >2R sin B ,即a >b ,故A >B .3.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是46,那么120°角所对边长是( )A .4B.12 3 C .4 3D .12解析:选D 若设120°角所对的边长为x ,则由正弦定理可得:x sin 120°=46sin 45°,于是x =46·sin 120°sin 45°=46×3222=12,故选D.4.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =2a ,则ba=( )A .2 3B.2 2C.3D. 2解析:选D 由正弦定理,得sin 2A sin B +sin B cos 2A =2sin A ,即sin B ·(sin 2A +cos 2A )=2sin A .所以sin B =2sin A .∴b a =sin Bsin A= 2.5.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )A .在△ABC 中,a ∶b ∶c =sin A ∶sinB ∶sinC B .在△ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =bC .在△ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立D .在△ABC 中,asin A =b +c sin B +sin C解析:选B 由正弦定理易知A ,C ,D 正确.对于B ,由sin 2A =sin 2B ,可得A =B ,或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π2,∴a =b ,或a 2+b 2=c 2,故B 错误.二、填空题6.在△ABC 中,若a =14,b =76,B =60°,则C =________.解析:由正弦定理知a sin A =b sin B ,又a =14,b =76,B =60°,∴sin A =a sin B b =14sin 60°76=22,∵a <b ,∴A <B ,∴A =45°,∴C =180°-(B +A )=180°-(60°+45°)=75°.答案:75° 7.在△ABC 中,B =30°,C =120°,则a ∶b ∶c =________.解析:A =180°-B -C =30°,由正弦定理得a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ,即a ∶b ∶c =sin 30°∶sin 30°∶sin 120°=1∶1∶ 3.答案:1∶1∶ 38.在△ABC 中,若A =120°,AB =5,BC =7,则sin B =________.解析:由正弦定理,得sin C =AB ·sin A BC =5sin 120°7=5314.可知C 为锐角,∴cos C =1-sin 2C =1114.∴sin B =sin(180°-120°-C )=sin(60°-C )=sin 60°·cos C -cos 60°·sin C =3314.答案:3314三、解答题9.(2011·安徽高考)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a =3,b =2,1+2cos(B +C )=0,求边BC 上的高.解:由1+2cos(B +C )=0和B +C =π-A ,得1-2cos A =0,所以cos A =12,sin A =32.再由正弦定理,得sin B =b sin A a =22.由b <a 知B <A ,所以B 不是最大角,B <π2,从而cos B =1-sin 2B =22.由上述结果知sin C =sin(A +B )=22×(32+12)=6+24. 设边BC 上的高为h ,则有h =b sin C =3+12. 10.在△ABC 中,已知a 2sin B cos B =b 2sin Acos A,试数列△ABC 的形状.解:∵a 2sin B cos B =b 2sin A cos A ,a =2R sin A ,b =2R sin B ,∴4R 2sin 2 A sin B cos B =4R 2sin 2 B sin Acos A.又∵sin A sin B ≠0,∴sin A cos A =sin B cos B ,即sin 2A =sin 2B ,∴2A =2B ,或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.必修五第二讲 余弦定理知识梳理 余弦定理题型分析[例1] 在△ABC 中,若a [解] 由于a ∶b ∶c =1∶3∶2,可设a =x ,b =3x ,c =2x .由余弦定理的推论,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =3x 2+4x 2-x 22×3x ×2x =32,故A =30°.同理可求得cos B =12,cos C =0,所以B =60°,C =90°.[变式训练]边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是________.解析:设中间角为θ,由于8>7>5,故θ的对边的长为7,由余弦定理,得cos θ=52+82-722×5×8=12.所以θ=60°,故另外两角和为180°-60°=120°.答案:120°[例2] 在△ABC [解] 由余弦定理得:b 2=a 2+c 2-2ac cos B =82+[4(3+1)]2-2×8×4(3+1)·cos 60°=64+16(4+23)-64(3+1)×12=96,∴b =4 6.法一:由cos A =b 2+c 2-a 22bc =96+16(3+1)2-642×46×4(3+1)=22,∵0°<A <180°,∴A =45°.故C =180°-A -B =180°-45°-60°=75°.法二:由正弦定理a sin A =b sin B ,∴8sin A =46sin 60°,∴sin A =22,∵b >a ,c >a ,∴a 最小,即A 为锐角.因此A =45°.故C =180°-A -B =180°-45°-60°=75°. [变式训练]在△ABC ,已知a =22,b =23,C =15°,解此三角形.解:c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(22)2+(23)2-2×22×23×cos(45°-30°)=8-43=(6-2) 2∴c =6- 2. 法一:由余弦定理的推论得cos A =b 2+c 2-a 22bc =(23)2+(6-2)2-(22)22×23×(6-2)=22.∵0°<A <180°,∴A =45°,从而B =120°.法二:由正弦定理得sin A =a sin C c =22×6-246-2=22.∵a <b ,∴A <B ,又0°<A <180°,∴A 必为锐角,∴A =45°,从而得B =120°.[例3] 在△[解] 法一:由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得32=a 2+(33)2-2a ×33×cos 30∴a 2-9a +18=0,得a =3或6.当a =3时,A =30°,∴C =120°.当a =6时,由正弦定理得sin A =a sin Bb =6×123=1.∴A =90°,∴C =60°.法二:由b <c ,B =30°,b >c sin 30°=33×12=332知本题有两解.由正弦定理得sin C =c sin Bb =33×123=32, ∴C =60°或120°,当C =60°时,A =90°,△ABC 为直角三角形.由勾股定理得a =b 2+c 2=32+(33)2=6,当C =120°时,A =30°,△ABC 为等腰三角形,∴a =3.[变式训练]已知:在△ABC 中,cos A =35,a =4,b =3,则c =________.解析:A 为b ,c 的夹角,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴16=9+c 2-6×35c ,整理得5c 2-18c -35=0.解得c =5或c =-75(舍).答案:5[例4] 在△ABC 中,若a cos A [解] 由余弦定理可得a ·b 2+c 2-a 22bc +b ·a 2+c 2-b 22ac =c ·a 2+b 2-c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2+c 2-a 2)+b 2(a 2+c 2-b 2)=c 2(a 2+b 2-c 2),整理化简得a 4+b 4-2a 2b 2=c 4,∴(a 2-b 2)2=c 4.因此有a 2-b 2=c 2或b 2-a 2=c 2.即a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2故△ABC 为直角三角形. [变式训练].在△ABC 中,若cos A =sin Bsin C,试判断其形状.解:由cos A =sin B sin C 得cos A =bc ,即b 2+c 2-a 22bc =b c,∴b 2+c 2-a 2=2b 2,即a 2+b 2=c 2,因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形.[例5]如图所示,在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AD =10,AB =14,∠BDA =60°,∠BCD =135°,求出BC 的长. [解]设BD =x .在△ABD 中,根据余弦定理,AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠BDA ,∴142=102+x 2-2×10×x cos60°,即x 2-10x -96=0,解得x 1=16,x 2=-6(舍去),∴BD =16.∵AD ⊥CD ,∠BDA =60°,∴∠CDB =30°.在△BCD 中,由正弦定理,BC sin ∠CDB =BDsin ∠BCD,∴BC =16sin 30°sin 135°=8 2.注:将四边形ABCD 分解为两个△ABD 和△BCD ,利用余弦定理列出关于x 的一元二次方程,化简方程时易出错,应注意步骤及计算的准确性. 由AD ⊥CD ,∠BDA =60°得∠CDB =30°,学生有时不易想到. [变式训练]如图所示,在△ABC 中,已知B =45°,D 是BC 边上一点,AD =5,AC =7,DC =3,求AB . 解:在△ADC 中,cos C =AC 2+DC 2-AD 22·AC ·DC =72+32-522×7×3=1114.又∵0°<C <180°,∴sin C =5314.在△ABC 中,AC sin B =AB sin C ,∴AB =sin C sin B ·AC =5314·2·7=562. [随堂注册]1.在△ABC 中,已知A =30°,且3a =3b =12,则c 的值为( C )A .4B .8C .4或8D .无解2.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c 2-a 2-b 22ab>0,则△ABC ( C )A .一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C .一定是钝角三角形 D .是锐角或直角三角形3.(2012·陕西高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若a =2,B =π6,c =23,则b =________.解析:由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =4+12-2×2×23×32=4,所以b =2.答案:2 4.在△ABC 中,已知a =7,b =3,c =5,则最大的角是________.解析:∵a >c >b ,∴A 为最大角.cos A =b 2+c 2-a 22bc =32+52-722×3×5=-12,又∵0°<A <180°,∴A =120°.答案:120°5.在△ABC 中,已知a =5,b =3,角C 的余弦值是方程5x 2+7x -6=0的根,求第三边c 的长.解:5x 2+7x -6=0可化为(5x -3)(x +2)=0.∴x 1=35,x 2=-2(舍去).∴cos C =35.根据余弦定理,c 2=a 2+b 2-2ab cos C =52+32-2×5×3×35=16∴c =4,即第三边长为4.课后作业一、选择题1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A =π3,a =3,b =1,则c =( B )A .1B.2C.3-1D. 32.在△ABC 中,若a =8,b =7,cos C =1314,则最大角的余弦值是( )A .-15B.-16 C .-17 D .-18解析:选C 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =82+72-2×8×7×1314=9,所以c =3,故a 最大,所以最大角的余弦值为cos A =b 2+c 2-a 22bc =72+32-822×7×3=-17.3.在△ABC 中,B =60°,b 2=ac ,则此三角形一定是( B )A .直角三角形 B.等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形4.(2013·宁阳高二检测)在△ABC 中,b cos A =a cos B ,则△ABC 是( )A .等边三角形B.等腰三角形 C .直角三角形 D .锐角三角形解析:选B 因为b cos A =a cos B ,所以b ·b 2+c 2-a 22bc =a ·a 2+c 2-b 22ac.所以b 2+c 2-a 2=a 2+c 2-b 2.所以a 2=b 2.所以a =b .故此三角形是等腰三角形.5.在△ABC 中,B =60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为( )A .45°B.60° C .75° D .90°解析:选C 由题意可知c <b <a ,或a <b <c ,不妨设c =2x ,则a =(3+1)x ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac.即12=(3+1)2x 2+4x 2-b 22·(3+1)x ·2x ∴b 2=6x 2.∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =(3+1)2x 2+6x 2-4x 22(3+1)x ·6x=22,∴C =45°, ∴A =180°-60°-45°=75°. 二、填空题6.(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若(a +b -c )(a +b +c )=ab ,则角C =________解析:∵(a +b )2-c 2=ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12,C =2π3.答案:2π37.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sin Bsin C的值为________.解析:由余弦定理可得49=AC 2+25-2×5×AC ×cos 120°,整理得:AC 2+5·AC -24=0,解得AC =3或AC =-8(舍去),再由正弦定理可得sin B sin C =AC AB =35.答案:358.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,则C 的大小是________.解析:因为sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,由正弦定理可得a ∶b ∶c =3∶5∶7,设a =3k (k >0),则b =5k ,c =7k ,由余弦定理的推论得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12,又0°<C <180°,所以C =120°.答案:120°三、解答题9.在△ABC 中,若已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,并且sin C =2sin B cos A ,试判断△ABC 的形状. 解:由正弦定理,可得sin B =b 2R ,sin C =c2R .由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc.代入sin C =2sin B cos A ,得c =2b ·b 2+c 2-a 22bc .整理得 a =b .又因为(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,所以a 2+b 2-c 2=ab ,即cos C =a 2+b 2-c 22ab =12.故C =π3.又a =b ,所以△ABC 为等边三角形.10.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2b ·cos A =c ·cos A +a ·cos C(1)求角A 的大小;(2)若a =7,b +c =4,求bc 的值.解:(1)根据正弦定理2b ·cos A =c ·cos A +a ·cos C ⇒2cos A sin B =sin A cos C +cos A sin C =sin (A +C )=sin B ,∵sin B ≠0,∴cos A =12,∵0°<A <180°,∴A =60°.(2)由余弦定理得:7=a 2=b 2+c 2-2bc ·cos 60°=b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc ,把 b +c =4代入得bc =3,故bc =3.必修五第三讲 正、余弦定理在三角形中的应用知识梳理三角形的面积公式(1)S =12a ·h a (h a 表示a 边上的高).(2)S =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B .三角形的面积公式S =12ab sin C 与原来的面积公式S =12a ·h (h 为a 边上的高)的关系为:h =b sin C ,实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高.题型分析[例1] 在△ABC 中,已知C =[解] 由正弦定理知AB sin C =AC sin B ,即23sin 120°=2sin B ,所以sin B =12,由于AB >AC ,所以C >B ,故B =30°.从而A =180°-120°-30°=30°.所以△ABC 的面积S =12AB ·AC ·sin A =12·23·2·sin 30°= 3.[变式训练].(1)在△ABC 中,若A =60°,b =16,S △ABC =643,则c =________.(2)在△ABC 中,若a =3,b =2,c =4,则其面积等于________.解析:(1)由已知得S △ABC =12·bc ·sin A ,即643=12×16×c ×sin 60°,解得c =16.(2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =4+16-92×2×4=1116,所以sin A =1-cos 2 A =31516,于是S △ABC =12bc sin A =12×2×4×31516=3154.答案:(1)16 (2)3154[例2] 在△ABC 中,求证:a -c cos B b -c cos A =sin Bsin A.[解] 法一:左边=a -c (a 2+c 2-b 2)2ac b -c (b 2+c 2-a 2)2bc =a 2-c 2+b 22a ·2b b 2-c 2+a 2=b a =2R sin B 2R sin A =sin Bsin A=右边,其中R 为△ABC 外接圆的半径.∴a -c cos B b -c cos A =sin Bsin A.法二:左边=sin A -sin C cos B sin B -sin C cos A =sin (B +C )-sin C ·cos B sin (A +C )-sin C ·cos A =sin B cos C sin A cos C =sin Bsin A=右边,(cos C ≠0)∴a -c ·cos Bb -c ·cos A =sin B sin A.[变式训练].在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,求证:a b -ba =c ⎝⎛⎭⎫cos B b-cos A a .证明:由余弦定理的推论得cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos A =b 2+c 2-a 22bc,代入等式右边,得右边=c ⎝⎛⎭⎫a 2+c 2-b 22abc-b 2+c 2-a 22abc =2a 2-2b 22ab =a 2-b 2ab =a b -b a =左边,∴a b -ba =c ⎝⎛⎭⎫cos Bb -cos A a .[例3] (2012·江西高考)在△B -C )-1=6cos B cos C .(1)求cos A ; (2)若a =3,△ABC 的面积为22,求b ,c .[解] (1)由3cos(B -C )-1=6cos B cos C ,得3(cos B cos C -sin B sin C )=-1,即cos(B +C )=-13,从而cos A =-cos(B +C )=13.(2)由于0<A <π,cos A =13,所以sin A =223.又S △ABC =22,即12bc sin A =22,解得bc =6.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+c 2=13,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc =6,b 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧ b =2,c =3,或⎩⎪⎨⎪⎧b =3,c =2.解决三角形的综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.因此,掌握正、余弦定理,三角函数的公式和性质是解题关键.[变式训练].在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足cos A 2=255,AB ·AC =3.(1)求△ABC 的面积; (2)若b +c =6,求a 的值.解:(1)∵cos A 2=255,∴cos A =2cos 2A 2-1=35,sin A =45.又由AB ·AC =3,得bc cos A =3,∴bc =5,∴S △ABC =12bc sin A =2.(2)∵bc =5,b +c =6,∴b =5,c =1或b =1,c =5.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =20, ∴a =2 5.[例4]如图,在四边形ABCD 中,AC =CD =12AB =1,AB ·AC =1,sin ∠BCD =35.(1)求BC 边的长;(2)求四边形ABCD 的面积.[解] (1)∵AC =CD =12AB =1,∴AB ·AC =AB ·AC ·cos ∠BAC =2cos ∠BAC =1,∴cos ∠BAC =12,∴∠BAC =60°.(3分)在△ABC 中,由余弦定理有:BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC =22+12-2×2×1×12=3,∴BC =3(6分)(2)由(1)知,在△ABC 中有:AB 2=BC 2+AC 2,∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB =90°,(7分) ∴S △ABC =12BC ·AC =12×3×1=32.(8分)又∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°+∠ACD ,sin ∠BCD =35,∴cos ∠ACD =35,(9分)从而sin ∠ACD =1-cos 2∠ACD =45,(10分)∴S △ACD =12AC ·CD ·sin ∠ACD =12×1×1×45=25.(11分)∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =32+25=4+5310.(12分)[变式训练]在△ABC ,中,AB =2,cos C =277,D 是AC 上一点,AD =2DC ,且cos ∠DBC =5714. 求:(1)∠BDA 的大小;(2) AD ·CB .解:(1)由已知得cos ∠DBC =5714,cos C =277,从而sin ∠DBC =2114,sin C =217,∴cos ∠BDA =cos(∠DBC +∠C )=5714×277-2114×217=12,∴∠BDA =π3.(2)设DC =x ,则AD =2x ,AC =3x ,设BC =a ,则在△DBC 中,由正弦定理得x sin ∠DBC =asin ∠BDC ,∴a =7x .在△ABC 中,由余弦定理,得4=(3x )2+(7x )2-2·3x ·7x ·277.解得x =1,∴AC =3,BC =7.∴AD ·CB =AD ·CB cos(π-C )=2×7×⎝⎛⎭⎫-277=-4. [随堂检测]1.已知△ABC 的面积为32,且b =2,c =3,则A 的大小为( )A .60°或120°B .60°C .120°D .30°或150°解析:选A 由S △ABC =12bc sin A 得32=12×2×3×sin A ,所以sin A =32,故A =60°或120°,故选A.2.在△ABC 中,若AC AB =cos Bcos C,则( )A .A =CB.A =B C .B =CD .以上都不正确解析:C ∵AC AB =sin B sin C =cos Bcos C ∴sin B cos C =cos B sin C ∴sin(B -C )=0又∵-π<B -C <π,∴B -C =0,即B =C .3.等腰△ABC 中,顶角A =120°,腰长AB =1,则底边BC 长为________. 解析:易知∠B =∠C =30°,由正弦定理知:BC sin 120°=1sin 30°,∴BC = 3.答案: 34.三角形的两边分别为3 cm,5 cm ,它们所夹角的余弦值为方程5x 2-7x -6=0的根,则这个三角形的面积为________.解析:方程5x 2-7x -6=0的两根为x 1=2,x 2=-35,因此两边夹角的余弦值等于-35,并可求得正弦值为45,于是三角形面积S =12×3×5×45=6(cm 2).答案:6 cm 25.在△ABC 中,若B =30°,AB =23,AC =2,求△ABC 的面积.解:∵AB =23,AC =2,B =30°,∴根据正弦定理,有sin C =AB sin B AC =23×122=32,又∵AB >AC ,∴C >B ,则C 有两解,(1)当C 为锐角时,C =60°,A =90°,∴S △ABC =12AB ·AC sin A =2 3.(2)当C 为钝角时,C =120°,A =30°,∴S △ABC =12AB ·AC sin A = 3.综上可知,△ABC 的面积为23或 3.课后作业一、选择题1.在△ABC 中,已知AB =2,BC =5,△ABC 的面积为4,若∠ABC =θ,则cos θ是( )A.35B.-35 C .±35 D .±45解析:选C ∵S △ABC =12AB ·BC sin ∠ABC =12×2×5×sin θ=4.∴sin θ=45.又θ∈(0,π),∴cos θ=±1-sin 2 θ=±35.2.在△ABC 中,已知A =30°,a =8,b =83,则△ABC 的面积为( )A .32 3 B.16 C .323或16 D .323或16 3解析:选D 在△ABC 中,由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin B =b sin A a =83×128=32,又b >a ,∴B =60°或120°.当B =60°时,C =180°-30°-60°=90°,∴S △ABC =12×8×83=323;当B =120°时,C =180°-30°-120°=30°,∴S △ABC =12ab sin C =12×8×83×12=16 3.3.在△ABC 中,A =60°,AB =2,且△ABC 的面积S △ABC =32,则边BC 的边长为( ) A. 3B.3C.7 D .7解析:选A ∵S △ABC =12AB ·AC sin A =32,∴AC =1由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos A=4+1-2×2×1×cos 60°=3.即BC = 3.4.△ABC 的周长为20,面积为103,A =60°,则BC 的边长等于( )A .5B.6 C .7D .8解析:选C 如图由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =20 (1)12bc sin 60°=10 3 (2)a 2=b 2+c 2-2bc cos 60° (3)由(2)得bc =40.由(3)得a 2=b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc =(20-a )2-3×40∴a =7.5.某人从出发点A 向正东走x m 后到B ,向左转150°再向前走3 m 到C ,测得△ABC 的面积为334 m 2,则此人这时离开出发点的距离为( )A .3 m B. 2 m C .2 3 m D. 3 m解析:选D 在△ABC 中,S =12AB ×BC sin B ,∴334=12×x ×3×sin 30°,∴x = 3.由余弦定理,得AC = AB 2+BC 2-2AB ×BC ×cos B =3+9-9= 3 (m).二、填空题6.△ABC 的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为13,则其外接圆的半径为________.解析:不妨设b =2,c =2,cos A =13,则a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A =9,∴a =3.又∵sin A =1-cos 2 A =223,∴外接圆半径为R =a 2sin A =32·223=928.答案:9287.一艘船以4 km /h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h ,则经过 3 h ,该船实际航程为________.解析:如图所示,在△ACD 中,AC =23,CD =43,∠ACD =60°,∴AD 2=12+48-2×23×43×12=36,∴AD =6,即该船实际航程为6 km.答案:6 km8.在△ABC 中,a =b +2,b =c +2,又知最大角的正弦等于32,则三边长为________.解析:由题意知a 边最大.sin A =32,∴A =120°,∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A .∴a 2=(a -2)2+(a -4)2+(a -2)(a -4).∴a 2-9a +14=0,a =2(舍去),a =7.∴b =a -2=5,c =b -2=3.答案:a =7,b =5,c =3 三、解答题9.在△ABC 中,若c =4,b =7,BC 边上的中线AD 的长为72,求边长a .解:∵AD 是BC 边上的中线,∴可设CD =DB =x ,则CB =a =2x .∵c =4,b =7,AD =72,在△ACD 中,有cos C =72+x 2-(72)22×7×x ,在△ABC 中,有cos C =72+(2x )2-422×7×2x .∴49+x 2-49414x =49+4x 2-1628x 解得x=92.∴a =2x =9. 10.(2010·浙江高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设S 为△ABC 的面积,满足S =34(a 2+b 2-c 2).(1)求角C 的大小;(2)求sin A +sin B 的最大值.解:(1)由题意可知12ab sin C =34·2ab cos C ,所以tan C =3,因为0<C <π,所以C =π3.(2)由已知sin A +sin B =sin A +sin(π-C -A )=sin A +sin(2π3-A )=sin A +32cos A +12sin A =3sin(A +π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号,所以sin A +sin B 的最大值是 3.。

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