( ( (
面心立方的倒格是体心立方

一般情况，正、倒格子是同一种布拉菲 晶格。

例外的情况，面心和体心类型的布拉菲 晶格互为对方的倒格子。
证明简单立方晶面(h1h2h3)的面间距为 d h1h2 h3 =
由
a
2 2 2 h1 + h2 + h3
G =
2π d h1h2h3
得：
d h1h2h3 =

在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。
倒格子与布里渊区就是试图给出晶体 中传播的波的一些普遍的几何特性。

倒易点阵的概念是德国人厄瓦耳（Ewald） 1921年 在处理晶体x射线衍射问题时首先引入的，对我们 理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心 概念。
O
= n1
+ n2
+ n3
2π G h1h2h3
简单立方
a1 = a i a2 = a j a3 = ak
2π b1 = i a 2π b2 = j a 2π b3 = k a
G h1h2h3 = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
= 2π h1 i + h2 j + h3 k a
(
)
G h1h2h3 =
2π 2 2 h12 + h2 + h3 a
π倍。
在正格子中的晶面取向和晶面面间距这2个参量在 倒格子中只用一个矢量就能综合地表达出来。
晶体结构
倒格
1.G
正格
1.
R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
= m1 b1 + m2 b2 + m3 b3
2.是真实空间中点的周期性排列 3.与晶体中原子位置相对应
2.是与真实空间相联系的傅里叶 空间中点的周期性排列 3.与晶体中一族晶面相对应 4.线度量纲为[长度]-1
4.线度量纲为[长度]
已知晶体结构如何求其倒格呢？ 晶体 结构 正格 基矢 倒格 基矢
正格
倒格
a1 ,a 2 ,a 3
2π ( i = j )
b1 , b 2 , b 3
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
0
(i ≠ j )
2π b1 = a2 × a3 Ω 2π b2 = a3 × a1 Ω 2π b3 = a1 × a2 Ω
O
A
a1
CB = OB − OC =
a2 a3 − h2 h3
a1 a 2 = 2π − 2π = 0 − G h ⋅ CA = ( h1 b1 + h2 b 2 + h3 b3 ) ⋅ h h2 1 a2 a3 = 2π − 2π = 0 − G h ⋅ CB = ( h1 b1 + h2 b 2 + h3 b3 ) ⋅ h 2 h3
晶面
描述晶面的一个重要参数） (3)相互平行的一族晶面把所有的格点包揽 无遗，且每个平面上都有格点分布；
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
每个布里渊区的体积都相等且等于倒格子原胞的 体积，也就是每个格点所占有的体积。
布里渊区界面
布里渊区界面

凡是波矢端点落在布里渊区界面上的入射X射线都 满足布拉格公式，被某一晶面族所反射。这一结论 对于分析波在晶体中的传播是十分重要的。
不同空间描写晶体的对称性
r空间（实空间） 布拉菲格子 原胞 正（坐标）空间 观察：显微镜 k空间（相空间） 倒格子 布里渊区
§1.1
晶体的基本性质
组成晶体的原子的性质以及原子的排列方式决 定了晶体的性质！

长程有序 ——晶体最突出的特点 自限性 ——晶体所具有的自发地形成封闭几何 多面体的能力。晶体内部原子的规则排列在晶体宏观形
态上的反映。


各向异性 ——晶体的各向异性是晶体的平移对称 性在晶体物理性质上的反映，是晶体区别于非晶体 的主要性质。
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)

在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。

在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
a
a
晶体结构
基元
布拉菲晶格
= n1 O n1，n2，n3 ， ，
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
面心立方
a1 a2
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1 a2
n1，n2，n3 ， ，
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1
a2 a3
n1，n2，n3 ， ，
面心立方
d h1h2h3 =
2π G h1h2h3
=
a
2 2 2 h1 + h2 + h3
法国物理学家莱昂.布里渊（Lé on Brillouin，1889–1969），不仅定 义了倒易空间中的布里渊区，对量 子力学和固体物理的其它方面、以 及信息论，都有所贡献。他早期在 法国做物理研究，四十年代来到美 国，曾经任职于哥伦比亚大学、IBM
Bravais 面心立方
基元：晶体的基本结构单元
(1)一个基元对应一个格点 (2)基元（格点）周围的环境相同 (3)基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
布拉菲晶格
由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称 为布拉菲（Bravais）晶格
晶体结构 = 基元 + 布拉菲晶格
( ( (
) ) )
G = m1 b1 + m2 b2 + m3 b3
一维

下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 = a j
a
a
a 1 = ai a2 = a j
a
a
a 1 = ai
a i ⋅ b j = 2 πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 1 = ai a2 = a j
倒空间中的Wigner-Seitz原胞
倒（动量）空间 观察：x射线衍射
虽然点群和空间群理论以及晶体点阵学说都是19世纪提出 的，但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得 以从实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。 1982年扫描电子显微镜发明以来，直接观察晶体中的原子 排列已成为可能，但又由于物质对电子的强烈吸收作用， 目前也只能用于观察晶体表面原子的分布。
证明 G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
ABC为在基矢 a1 , a 2 , a 3 上的截距为
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面
a1 a2 a3 , , h1 h2 h3
a3
C
Gh
a2
B
CA = OA − OC =
a1 a 3 − h1 h 3
Léon Brilliouin （1889-1969）
等，1969年在纽约去世。
在倒格子中，取某一倒格电为原 点，做所有倒格矢G的垂直平分面， 这些垂直平分面把倒格子空间分 割成许多包围原点的多面体，其 中离远点最近的多面体区域称为 第一Brillouin区，离原点次近的 多面体与第一Brillouin区表面之 间的区域称为第二Brillouin区， 以此类推可得第三、第四等各个 Brillouin区。
O
+

正格子和倒格子互为倒易。倒格子是由基矢b1,b2,b3所确定的倒易空间 中的布拉非晶格。在正、倒两种格子空间中，长度的量纲互为倒数。

倒格子原胞的体积Ω*与正格子的原胞体积Ω的关系为

倒格矢G h h h 与正格子中面指数为（h1h2 h3)的晶面族正交，而且矢量G
1 2 3
的长度等于该晶面族中面间距离倒数的2π倍
晶体的 X射线衍射就是晶体中处在不同位置上的原子向外 散射的电磁波（不同相位）相互干涉的结果，是晶体原子 的有序排列，使某些方向上散射波始终互相叠加、某些方 向上的散射波始终相互抵消，而产生衍射线。因此每种晶 体的衍射花样都反映出晶体内部原子分布的规律。
原胞 以一格点为顶点，由此点向
近邻的三个格点作三个不共面的矢 量，以此三个矢量为邻边的平行六 面体。这个平行六面体沿三个不同 的方向进行周期性平移，就可以充
a
a1
a2 a3
满整个晶格，形成晶体。 体积最小的重复单元
Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3
(
)
a = 4
3
维格纳-塞茨（Wigner-Seitz）原胞（对称原胞）
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)

金刚石
c
c
面心立方

钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。