第二章车辆动力学建模方法及基础理论§2-1 动力学方程的建立方法
在车辆动力学研究中，建立系统运动微分方程的传统方法主要有两种：一是利用牛顿矢量力学体系的动量定理及动量矩定理，二是利用拉格朗日的分析力学体系。

本节将对这两种体系作一简单回顾，并介绍几个新的原理。

一牛顿矢量力学体系
(1)质点系动量定理质点系动量矢p对时间的导数等于作用于质点系的所有外力F i的矢量和(即主矢),其表达式为:
二、分析力学体系
分析力学是用分析的方法来讨论力学问题，较适合处理受约束的质点系。

(1)动力学普遍方程动力学普遍方程由拉格朗日(Lagrange)于1760年给出的，方程建立的基本依据是虚位移原理，表示如下：
(2-6)
(2)拉格朗日方程拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能和总势能均以系统变量的形式表示，然后将其代入拉格朗日方程，再对其求偏导数，即可得到系统的运动方程。

拉格朗日方程形式如下：利用此方程推导车辆动力学方程时，因采用广义坐标，从而使描述系统位移的坐标数量大大减少，并可以自动消去无功内力。

但也存在下述问题：
①应用拉格朗日方程时，有赖于广义坐标选取得是否得当，而适当地选择广义坐标有时要靠经验；
②拉格朗日能量函数对于刚体系统的表达式可能非常复杂，代人拉格朗日方程后要作大量运算。

而对于复杂的车辆系统，写出能量函数的表达式就更加困难。

三、虚功率原理
若丹(Jourdain)于1908年推导出另一种形式的动力学普遍方程，其所依据的原理称之为虚功率原理。

虚功率形式的动力学普遍方程为：
四、高斯原理
1829年，高斯(Gauss)提出动力学普遍方程的又一形式，称为高斯原理，其表达式为：
§2-2 非完整系统动力学
一、非完整系统动力学简介
1894年，德国学者Henz第一次将约束系统分成“完整”和“非完整”两大类，从此开辟了非完整系统动力学(Nonholonomie System)
的新领域，如今它已成为分析力学的一个重要分支。

由于工程技术的需要，该领域的研究自21世纪初得到了迅速发展。

首先介绍有关的几个基本概念。

1．约束与约束方程
一般的力学系统在运动时都会受到某些几何或运动学特性的限制，这些构成限制条件的具体物体称为约束，用数学方程所表示的约束关系称为约束方程。

2．完整约束与非完整约束
如果约束方程只是系统位形及时间的解析方程，则这种约束称为完整约束。

完整约束方程的一般形式为：
3．完整系统与非完整系统
具有完整约束的力学系统称为完整系统，具有非完整约束的力学系统称为非完整系统。

非完整约束和非完整约束系统其实并不难以理解，比如凡带有滚动轮子的系统，几乎都是非完整系统。

因此，非完整系统动力学特别适用于研究行驶车辆的运动。

二、非完整约束方程的实例
这里以一个简单的车轮运动来说明非完整约束方程的建立方法。

1．车轮在垂直平面内沿坐标轴滚动
先假定车轮在垂直平面内沿坐标轴戈方向滚动，如图2—1所示，并假设：
1)车轮为一刚体圆盘；
2)车轮在水平地面上作只滚不滑的纯滚动。

2．车轮在垂直平面内滚动
假定车轮在垂直平面内作纯滚动(图2-2)，且满足条件：
1)车轮在切线方向上只滚不滑；
2)车轮在轴线方向上不能侧向滑动。

3．考虑车轮定位参数的约束方程
三、车辆动力学中应用非完整约束的利弊
在车辆动力学研究中采用非完整约束的优缺点如下：
1)车轮的实际运动情况为非完整约束，所以从理论上讲，在车辆动力学分析中采用非完整约束比简化成完整约束或约束力的方法所得的结果会更精确。

2)在传统的车辆动力学研究中，车轮与地面之间的约束是以力和力矩的形式出现在微分方程的右端，并且预先要知道其变化规律，而由于车轮与地面之间的受力状况非常复杂，通常需要大量试验测量才能确定。

然而，采用非完整约束可以避免这一问题。

3)当想要知道车轮与地面之间的作用力时，采用非完整系统动力学中的拉格朗日待定乘子法也可将约束力求出。

4)在研究受控系统的动力学时，可将控制装置作为推广的非完整约束形式。

这种方法给研究汽车操纵稳定性等车辆动力学问题带来很大便利。

5)采用非完整约束方法研究车辆动力学也有不利的方面，因为非完整力学系统具有不可积分的微分约束，广义坐标的变分已不再是独立的，通常第二类拉格朗日方程已经不能被应用了，这就需要更复杂的微分方程来描述。

现在工程上常用的有Routh方程、Boltzmann Hamal方程及Appell方程等几种方法。

§2-3多体系统动力学方法
一、发展概况
以欧拉为代表的经典刚体动力学发展至今已有二百多年。

20世纪60年代末至70年代初，将古典的刚体力学、分析力学与现代的电子计算机技术相结合的力学新分支--多刚体系统动力学诞生了。

多体系统动力学(包括多刚体系统动力学和多柔体系统动力学)是研究多体系统(一般由若干个柔性和刚性物体相互连接所组成)运动规律的科学。

多体系统动力学是在经典力学基础上发展起来的与车辆设计、航天器控制、机器人学、机械动力学等领域密切相关且起着重要作用的新的力学分支。

随着近几十年来对机械系统的高性能、高精度的设计要求不断的提升，加之高速度、高性能计算机的发展和计算方法的成熟，使多体系统动力学得到快速发展，其应用领域也日益广泛。

二、研究方法
经过几十年的研究与实践，多体系统动力学形成了比较系统的研究方法，主要包括多刚体系统动力学研究方法和多柔体系统动力学研究方法，分别介绍如下。

1．多刚体系统动力学研究方法
多刚体系统动力学的研究方法主要有经典力学方法(以牛顿一欧拉方程为代表的矢量力学方法和以拉格朗日方程为代表的分析力学方法)、图论(R．W)方法、凯恩方法、变分方法、旋量方法，下面将分别给予介绍。

(1)牛顿—欧拉方法
(2)拉格朗日方程法
(3)图论(R—W)方法
(4)凯恩方法
(5)变分方法
(6)旋量方法
虽然多刚体系统动力学的方法体系各不相同，利用计算机解决复杂力学系统的分析与综合问题。

1)适用对象广泛。

2)可计算大位移运动。

3)模型精度高。

2．多柔体系统动力学研究方法
多柔体系统不同于多刚体系统，它包含了柔性部件，其变形不可忽略，其逆运动学具有不确定性；它与结构力学不同，部件在自身变形运动的同时，在空间中经历着大的刚性移动和转动，刚性运动和变形运动相互影响、强烈耦合。

(1)基本原理和方法推导多柔体系统动力学方程的基本原理和方法与一般的力学问题相同，可以分为三类：①牛顿一欧拉方法；②
虚位移方法；③牛顿一欧拉方法和虚位移方法的各种变形，如比较有影响的凯恩方法等。

(2)方程建立的关键性问题建立多柔体系统动力学方程主要有如下三个关键问题：
1)动坐标的选择。

2)弹性变形模态的选择。

3)约束问题。

(3)主要研究方向近年来多柔体系统的研究主要集中在以下四个方面：
1)多柔体系统动力学方程的有效建立与简化，编制相应的软件系统以便输入少量描述系统特征的数据由计算机自动建立系统运动学与动力学方程。

2)建立稳定而有效的数值计算方法，分析弹性变形对静态偏差、稳定性、动态响应的影响。

通过仿真由计算机自动产生系统的动力学响应。

3)选择合理的结构、参数或控制规律。

在某种程度上消除弹性变形带来的不利影响，使其产生积极的效果。

4)将仿真结果由计算机以方便直观的形式表达出来。

(4)研究中存在的问题多柔体系统动力学的研究虽然在近十几年中取得了长足的发展，但是目前仍存在一些不足，主要有以下几个方面：
1)研究领域中所使用的名称比较混乱，从而给研究人员之间的相互交流带来了一定困难。

2)动力学方程的建立及求解都还不成熟。

3)计算机程序的编制缺乏规划和交流。

4)理论研究与实际应用的差距较大。

5)缺少必要的试验。

上述问题的核心是构造满足精度条件下具有小求解尺寸的动力学模型和构造刚性(病态)条件下具有良好稳定性和计算精度的数值算法。

这两方面的工作是反映柔性效应对系统的影响，特别是对复杂
大系统的影响的关键所在，同时也是多体系统动力学分析研究的重点和难点。

3．车辆建模中对柔体的考虑
在汽车工程领域，由于提高车辆的行驶速度、最大限度地减轻车重、降低能耗等要求，使得在高速车辆的操纵稳定性、行驶平顺性分析中必须考虑车身、车架以及转向系统构件的弹性；在传动系统的齿轮、传动轴，发动机的曲轴连杆、配气机构等的动力学分析中，必须采用多柔体动力学模型才能满足精度要求。