二次函数与幂函数
基础篇
【基础集训】
考点一二次函数的图象与性质
1.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为()
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,2)
答案 A
2.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是.
答案-1
考点二幂函数
3.函数y=√x2
3的图象大致是()
答案 C
4.函数f(x)=(m2-m-1)·x x2-2x-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为
()
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 A
5.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(1
2,√2
2
),则k+α等于 ()
A.1
2B.1 C.3
2
D.2
答案 C
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一二次函数的图象与性质
1.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()
A.f(-2)<f(0)<f(2)
B.f(0)<f(-2)<f(2)
C.f(2)<f(0)<f(-2)
D.f(0)<f(2)<f(-2)
对称.
答案D由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=1
2
∵f(x)的图象开口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2).
方法总结“f(x)=f(2a-x)”等价于“函数f(x)图象的对称轴为直线x=a”.
2.(2018河北衡水武邑中学开学考试,6)若存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数f(x)可能是()
A.f(x)=x2-2x+1
B.f(x)=x2-1
C.f(x)=2x
D.f(x)=2x+1
答案A由存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,可得函数图象≠0,只有f(x)=x2-2x+1满足题意,而f(x)=x2-1;f(x)=2x;f(x)=2x+1都不满的对称轴为x=x
2
足题意,故选A.
(2-m)x2+(n-8)x+1(m>2)在区间3.(2018湖北武汉高中毕业班2月调研,11)如果函数f(x)=1
2
[-2,-1]上单调递减,那么mn的最大值为 ()
A.16
B.18
C.25
D.30
≤-2,8-n≥-2(2-m),n≤12-2m,故nm≤答案B因为m>2,所以抛物线的开口向下,所以8-x
2-x
(12-2m)m=-2m2+12m=-2(m-3)2+18≤18,当且仅当m=3,n=6时等号成立,所以mn的最大值为18.故选B.
方法总结处理多变量函数最值问题的方法有:(1)消元法:把多变量问题转化为单变量问题,消元时可以用等量消元,也可以用不等量消元.(2)基本不等式:即给出的条件是和为定值或积为定值,此时可以利用基本不等式来处理,用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.(3)线性规划:如果题设给出的是二元一次不等式组,而目标函数也是二元一次的,那么我们可以用线性规划来处理.
考点二幂函数
1.(2018安徽巢湖柘皋中学第三次月考,3)已知p:|m+1|<1,q:幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递减,则p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案 B p :由|m +1|<1得-2<m <0,
∵幂函数y =(m 2
-m -1)x m
在(0,+∞)上单调递减, ∴m 2
-m -1=1,且m <0, 解得m =-1,
∴p 是q 的必要不充分条件,故选B .
2.(2018山东济宁微山第二中学第一次月考,10)下列命题正确的是 ( ) A.y =x 0的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
C.若幂函数y =x n 是奇函数,则y =x n
是增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案 D 对于A,函数y =x 0
的图象是一条直线除去点(0,1),故A 错误;对于B,幂函数的图象都经过点(1,1),当指数大于0时,都经过点(0,0),当指数小于0时,不经过点(0,0),故B 错误;对于C,若幂函数y =x n
是奇函数,且n >0,y =x n
是定义域上的增函数,n <0,y =x n
在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,故C 错误;由幂函数的性质,幂函数的图象一定过第一象限,不可能出现在第四象限,知D 正确,故选D.
3.(2018宁夏石嘴山三中模拟,6)若函数f (x )是幂函数,且满足x (4)
x (2)
=3,则f (1
2)的值为
( )
A.-3
B.-13
C.3
D.13
答案 D 设f (x )=x α
(α为常数), ∵x (4)
x (2)=3,∴4x
2x =3, ∴α=log 23.
∴f (x )=x log 23.则f (12)=2-log 23=1
3.故选D.
4.(2018陕西西安检测,3)函数y =√x 23
的图象大致是 ( )
答案 C y =√x 23
=x 2
3,其定义域为x ∈R,排除A,B .又0<2
3
<1,图象在第一象限为上凸的,排除
D,故选C .
综合篇 【综合集训】
考法一 求二次函数在闭区间上的最值(值域)
1.(2019广东珠海模拟,6)已知函数y =x 2
-4x +5在闭区间[0,m ]上有最大值5,最小值1,则m 的取值范围是
( )
A.[0,1]
B.[1,2]
C.[0,2]
D.[2,4] 答案 D
2.已知函数f (t )=log 2(2-t )+√x -1的定义域为D. (1)求D ;
(2)若函数g (x )=x 2
+2mx -m 2
在D 上存在最小值2,求实数m 的值. 考法二 一元二次方程根的分布
3.已知一元二次方程x 2
+mx +3=0(m ∈Z)有两个实数根x 1,x 2,且0<x 1<2<x 2<4,则m 的值为
( )
A.-4
B.-5
C.-6
D.-7 答案 A
4.方程x 2
+ax -2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为 ( ) A.(-235,+∞) B.(1,+∞) C.[-235
,1] D.(-∞,-23
5
)
答案 C
5.已知方程x 2
+2(a +2)x +a 2
-1=0.
(1)当该方程有两个负根时,求实数a 的取值范围;
(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a 的取值范围.
考法三 幂函数的图象及性质的应用
6.(2020湘赣皖十五校第一次联考(4月))设a =ln 1
2
,b =-5-1
2,c =lo g 13
2,则
( )
A.c <b <a
B.a <c <b
C.c <a <b
D.b <a <c 答案 B
7.若幂函数y =x -1
,y =x m 与y =x n
在第一象限内的图象如图所示,则m 与n 的取值情况为
( )
A.-1<m <0<n <1
B.-1<n <0<m
C.-1<m <0<n
D.-1<n <0<m <1 答案 D
8.已知点(x ,1
2)在幂函数f (x )=(a -1)x b
的图象上,则函数f (x )是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数 答案 A
9.幂函数y =x α
,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x a
,y =x b
的图象三等分,即有BM =MN =NA ,那么a -1
x =
( )
A.0
B.1
C.1
2 D.2
答案 A。