秒杀二次函数综合问题(高考专题)二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1 已知，满足1且，求的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入，并整理得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f ,∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵，2)1(1≤-≤f ,∴ ()1025≤≤f . 例2 设，若，，, 试证明：对于任意，有.分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,. 解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1, ∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. ∴ 当01≤≤-x 时，()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x xx x x x f xx f x x f x f当10-≤≤x 时，()()()()222102121x f xx f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤222122x xx x x -+-++≤)1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x综上，问题获证.1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --= 例３ 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a , ∴ 当时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力例4 已知函数x za x f 22)(-=。

（1）将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =，求函数)(x g y =的解析式；（2）函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，求函数)(x h y =的解析式；（3）设)()(1)(x h x f ax F +=，已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ，求实数a 的取值范围。

解：(1)()();22222---=-=x x a x f x g(2)设()x h y =的图像上一点()y x P ,，点()y x P ,关于1=y 的对称点为()y x Q -2,，由点Q 在()x g y =的图像上，所以y a x x -=---22222， 于是 ,22222--+-=x x a y即 ();22222--+-=x x a x h（3）22)14(2411)()(1)(+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=x x a a x h x f a x F . 设xt 2=，则21444)(+-+-=ta t a a x F . 问题转化为：7221444+>+-+-t a t a a 对0>t 恒成立. 即()0147442>-+--a t t a a 对0>t 恒成立. （*）故必有044>-a a .（否则，若044<-a a，则关于t 的二次函数()14744)(2-+--=a t t a a t u 开口向下，当t 充分大时，必有()0<t u ；而当044=-aa时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数()14744)(2-+--=a t t aa t u 的对称轴0847>-=a a t ，所以，问题等价于0<∆t ，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-⋅-⋅->-0144447044a a a aa，解之得：221<<a . 此时，014,044>->-a a a ，故21444)(+-+-=ta t a a x F 在aa a t --=4)14(4取得最小值()214442+-⋅-=a aam 满足条件. 2. 数形结合二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.2.1 二次函数的图像关于直线a b x 2-=对称， 特别关系abx x -=+21也反映了二次函数的一种对称性.例5 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.解：由题意 ()c x b ax x x f +-+=-)1(2.由方程的两个根满足, 可得,121021a x a b x <<--<<且a b x x a b 212121---=---, ∴ a b a a b x x a b 211212121---<---=---， 即 1x ab<-，故 .2.2 二次函数)(x f 的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数n m ,使得n m <且0)()(<n f m f ⇔在区间()n m ,上，必存在0)(=x f 的唯一的实数根.例6 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.分析：条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . （1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b aa b两式相加得12<ab，所以，10->x ; （2）由aa b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a . 又0121>=ax x ，所以21,x x 同号.∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x ,即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b . 2.3 因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(ab--∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.例7 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.分析：研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值.解：由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(， ∴ )0()),1()1((21)),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+=， ∴()2221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 由时，有，可得 ,1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f .∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f .（1）若[]2,22-∉-ab，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -=∴ 此时问题获证. （2）若[]2,22-∈-ab，则当[]2,2-∈x 时，)2,)2(,)2(max()(max ⎪⎭⎫⎝⎛--=a b f f f x f又()72411214)1()1(2022422<=+⋅+≤--⋅+=⋅+≤-=⎪⎭⎫⎝⎛-f f a b f b a b c a b c a b f ，∴ 此时问题获证. 综上可知：当时，有.。