求数列通项公式的十种方法一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。

扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式。

心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2｛q r ｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛b K ｝的通项公式；解：•/ a fj = -2(n + I)/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分I练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、二2, • • @7二5/7 —3,三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。

解:由 a n+i = a n + 2n +1 得 % - a n =2n + l 则解：^,=2^l+3x2H 两边除以2n+,.得勞=令+ £，则"^ 利用色S](心 1) S“一S”]g2)5 =（°” 一«n-i）+（% -。

”_2）+ …+（①一“2）+（①一纠）+ 5=[2（/? — 1） + 1] + [2（〃— 2） + 1] +・・• +（2x2 + 1） +（2x1 +1） + 1 =2[（川一1） + 5-2） + ・・・ + 2 + 1] + （〃一1） + 1=2 塔聖+ （—1） + 1=（77-1）（77+ 1） + 12=ir所以数列｛a n｝的通项公式为％ = n2。

评注:本题解题的关键是把递推关系式a n+l=a…+2n + \转化为a…^-a n=2n + l,进而求出（a n ~ a n-\）+（a n-\ ~"“-2）卜（“3 一“2）+（。

2 一"1）+ "1 * 即得数列（耳,｝的通项公式。

例4已知数列｛%｝满足绻+|=©+2x3" + l, q=3,求数列｛qj的通项公式。

解:由a n+[=a… +2x3,r +1 得a n+l-a… = 2x3H +1 则a n = a厂）+（£-1 一d”_2 ） + …+ （°3 一“2 ） + （“2 一 "]）+ a\= （2x3n_,+l） + （2x3n_2 + l） + .-- + （2x32 + l） + （2x3I+l） + 3=2（3心+3"一2+... + 32+31）+⑺一1） + 3』（1才）+心）+ 31-3=3" - 3 + “一1 + 3= 3”+n —1所以u n =3" + n — 1.评注：本题解題的关键是把递推关系式a n,x=a n+2x3n +1转化为如一垢=2x301 ,进而求出5 =（S —5-1） + （勺-一q一2）+…+（冬一“2）+（6 一4）+ 4，即得数列｛色｝的通项公式。

四、累乘法例6已知数列｛©｝满足如=2(/i + l)5"xa”, ®=3,求数列｛©｝的通项公式。

解：因为%=2S + l)5“x% q=3,所以①工0,则加= 2(n + l)5J故Cl n—................................. qa n-\ «n-2 «2 4=[2(/?-1 +1)5"" ][ 2(“ 一2 +1)5" J ] •.…[2(2+1)X52][2(1+1)X5']X3=2H_,[«(n-l) • 3x2]x 5,n_1>+<n-2>+-+2+1 x 3n(n-l)= 3x2^ x5— xn!/r(w-l)所以数列｛J｝的通项公式为© = 3x2,M x5—xnl.评注:本题解题的关键是把递推关系a n^=2(n + \)5n xa n转化为 ^ = 2(n + l)5\进而求出厶•竺L••…乞•乞・仆即得数列｛©｝的通项公式。

%】％2 «2 5例7 已知数列｛"“｝满足舛=1, a n =q +2a2+3© +••• + (/?-1)^_,(/? h 2),求｛%｝的通项公式。

解：因为ci n = q + + 3“3 +••• + (〃一I)"”—(八—2) ①所以S+i = q + 2a2 + +••• + (〃—1)5- + 斤5②用②式一①式得a n+l -a n=na….则a n^\ =(« + l)«n(n>2)所以a” = ...... 乞・d«> =[n(〃_l) ...... 4X3]^7=—a^.(3)5-1 %2 ^2 2由a n = a｝ + 2a2 + 3$ + ・・・ + (n- 1)。

心(« A 2),取办=2得a? = a｝ + 2a2,则a2 = a｝,又知q=l,则a^=\.代入③得a n =l-3-4-5 ............. n = —Q] ■ 2 所以，的通项公式为®£.评注：本题解题的关键是把递推关系式a n+1=(n + lK(/i>2)转化为^ = n + l(n>2),a n进而求出上匚•组••…乞・“2,从而可得当H>2时，冷的表达式，最后再求出数列｛©｝的5-1 ©_2 a2通项公式。

五.构造等差或等比"”+l = M + g或如=P© + /(")例8 (2006年福建卷)已知数列｛©｝满足®=l,%=2d”+l(mN・).求数列仗”｝的通项公式；解：T 陽+1 = 2% +1(〃e N"),••• °”+]+i=2a+i),.•.｛©+1｝是以q+l = 2为首项，2为公比的等比数列。

+1 = 2".即a n =22 -l(neN ).例9.已知数列｛%｝中，5 =1, a”+i +(+)"-',求％。

解：在% =｝”+(*严两边乘以汕得：2叫畑=(2"・©) + 1 令—=2" •勺,则仇+|-化=1,解之得：b n =b｝+n-l = n-l所以讣俎一口练习. 已知数列｛a n｝满足心=2a n-I+2n -l(n>2),且g =81。

(1)求如，a2> a3；(2)求数列｛aj的通项公式。

(1) aj =5, a2 =13, a3 = 33解:(2) a n =2a n-1 +2n—lna n -1 = 2筑-—l) + 2n=口=鱼斗1+1亠21"+12n 2n_, 2na n =(n + l)2n +1六、待定系数法例10已知数列｛%｝满足％|=2a”+3x5", ®=6,求数列｛色｝的通项公式。

解:设"”+1+XX5”T =2(%+xx5") ④)将a n+l=2a” +3x5"代入④式,得2a n +3x5" +xx5n+,=2a n+2xx5n ,等式两边消去2a n ,得3•亍+x-5n+1=2x-5n,两边除以5",得3 + 5x = 2x,贝吐=一1,代入④式得“沖一5灯=2(%—5”)⑤由«,-5,=6-5 = 1^ 0及⑤式得“”一5"工0,则也_二=2,则数列｛勺一5”｝是以勺-5«!-5'= 1为首项，以2为公比的等比数列，则色-5”=2”“,故a n=2n-l+5n o评注：本题解题的关键是把递推关系式% = 2a n+3x5”转化为% - 5n+, = 2(% - 5"), 从而可知数列｛"”-5"｝是等比数列，进而求出数列｛"“-5”｝的通项公式，最后再求出数列｛%｝的通项公式。

例12已知数列｛%｝满足^f+1=2^+3/r+4n + 5, q=l,求数列｛"”｝的通项公式。

解:设"曲 + x(n +1)，+ y(n +1) + z = 2(© + xn2 + yn + z) ⑧将a n^} =2a n+3n2 +4/1 + 5 代入⑧式，得2a n +3n 2 +4n + 5 + x(n +1)2 + y(/i +1) + z = 2(a n + xn 2 + yn + z),则 2a n + (3 + x)/r + (2x + y + 4)/? + (x + y + z + 5) = 2a n + 2xn 2 + 2yn + 2z等式两边消去,得(3 + x)n 2 + (2x +y + 4)n + (x+ y + z + 5) = 2xn 2 +2yn + 2z ,% + 3(/? + 1)2+10(/i + 1) + 18 = 2(a n + 3n 2 +1 On + 18) ⑨由 ^+3xl 2+ 10x1 +18 = 1 + 31 = 32^ 0 及⑨式，得冷+3用 + 10料 + 18工0则.也-3("-1广-1()("-1) + 卅=£ ,故数列 s + 3用 +10“ +18｝为以a“+3“-+ 10/2 + 18再+3x12 + 10x1 + 18 = 1 + 31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此陽+3^2+10/1 + 18 = 32x2"“ ,则 «n =2n+4-3n 2-1071-18 o 评注：本题解题的关键是把递推关系式绻+|=2a”+3川+4〃 + 5转化为% + 3(/i + 1)2 + 10(/2 + 1) + 18 = 2(% +3«2+10/2 + 18),从而可知数列｛外+3^+10/1 + 18｝是等比数列,进而求出数列｛©+3/? + 10"+18｝的通项公式，最后再 求出数列｛"”｝的通项公式。