二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标的变化在实际问题中反 映为可用资源数量的变化，由于在单
纯形表中有：
X B B b,Z CB B b
* *
1
1
运
筹
学
29
所以，如果资源指标变化，而原问题中
的其它所有参数都不改变时，将会影响原问 题最优解的可行性和对应的目标函数值。反 映到最优单纯形表上将会引起会影响到对应 的常数列上的数据。具体的讲，有以下两种
T 从而，最 指标变为 b （350, 400, 250） ，
优单纯形表上常数列应该变为：
运
筹
学
39
1 0 1 350 100 1 b B b 2 1 1 400 50 0 0 1 250 250
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB (cB1, cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成 (cB1, cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则： cB
z j ( j 1, 2,L n)
一般也变了，不
运
筹
学
5
j ( j 1, 2,m) 变成
j c j zj
) c j ( z j ck akj (c j z j ) ck akj j ck akj
运 筹 学
8
要使最优解不变，只要
0 j ck akj j ck akj
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
x4
2
x2
55
0
60 0
1
55 0
0
60 -60
0
0 0
1
-5
250
250
zj j
j
16750
5
表4-25
迭代次 数 基变 量
Cb
60 0
x1
60
1 0
x2
55
0 0
x3
0
-1 -2
x4
0
1 1
x5
0
0 1
b
100 50
比值
x1
该工厂的最优生产计划有什么变化；
运
筹
学
34
（1）如果设备的台时数和第一种原料
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，即在初始单纯
T 形表上，资源指标变为 b 时， （300, 400, 270）
最优单纯形表上 常数列变为：
1 0 1 300 30 1 b B b 2 1 1 400 70 0 0 1 270 270
运 筹 学
11
例1：
max z 50 x1 100 x2 s.t x1 x2 300 x1 x2 400 x2 250 x1 , x2 0
最优单纯形表如下
运 筹 学
12
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
50 50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
27500
运
筹
学
13
我们先对非基变量S1的目标函数的系数C3 进行灵敏度分析。这里σ3=-50，所以当c3的增
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0150 -Fra bibliotek0250
CJ -ZJ
26000
运 筹 学
35
因为 b (30,70,270)T 0, 所以，原 问题的最优基不变。但是，原问题
的最优解变为：
X (30,270,0,70,0)
*
T
最优值变为：
Z CB B b 28500
*
运 筹 学
36
1
（2） 如果两种原料的供应量没有变
化，则设备的台时数为 300 时，原 来最优生产计划中所生产的产品仍然
T z j (cB1 , cB 2 ,, ck ,cBm )(a1 j , a2 j ,, akj , amj )
a1 j 变成了 zj (cB1 , cB 2 ,, ck＋ck ,cBm ) akj a mj
量Δc3≤50时，最优解不变。
再对基变量x1的目标函数的系数c1进行灵敏
度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除了知道a11’ 50 和 a13’大于0， a15’小于0，可知 3 50, 有:
a13 1
运
筹
学
14
j ' max a 1 j 0 max 50 50，同理 a '1 j 5 j ' 有： min a 1 j 0 min 50. a '15 a '1 j
1 -C’1+100 C’1-100
X2 100 0 ZJ CJ -ZJ C’1 0
18
从σ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并 且从σ5≤0，得到c1’≤100。 那么如果c1’取值超出这个范围，
必然存在一个检验数大于0，我们可
以通过迭代来得到新的最优解。
运
筹
学
19
再例如，在本例的基础上提出以
当 a
kj
j k时， j 0,即：
0
时， ck

j
akj
,
j
akj
0; 0;
当
0 akj
时， ck
j
akj
筹
,
j
akj
运
学
9
而当 j＝k 时， j ck ck zk ck ck zk ck akk 而xk 是基变量 k＝0，akk 1 所以， 0.
x5
3
x2
55
0
60 0
1
55 0
2
50 -5
-1
5 -5
0
0
200
zj
j
17000 0
由于所有的
j 0( j 1,2,5),
则已
求得最优解，且所有的资源指标均非 负，即该工厂在甲、乙产品的利润变
化后，应该将生产计划调整为生产甲
乙两种产品分别为100件和200件，最 大利润为17000万元。
由于所有的（即原问题满足
可行性条件对偶问题满足可行性
条件），所以该工厂在甲、乙产 品的利润变化后，生产计划不变。
运
筹
学
24
（3）将甲、乙产品的利润变化
情况直接反映到最优单纯形表（422）上，可得表4-24。
运
筹
学
25
表4-24
迭代次 数 基变 量
Cb
60 0
b
x1
60 1 0
x2
55 0 0
x3
情况：
运
筹
学
30
第一种情况：新的检验数均非正，而且
对应的新的资源指标非负。原问题的最优基 不变，变化后的常数列上的数据即为最优解。 第二种情况：新的检验数均非正，而且 新的资源指标中有负值。此时，用对偶单纯 形法继续迭代运算，求出新的最优解即可。
运
筹
学
31
例3：在第二章例1为中分析，若： （1）如果设备的台时数和第一种原料
§4.5 单纯形法的灵敏度分析
运
筹
学
1
单纯形法的实质是:
令 A ( B, N ) ，
Ax b
x =( x B , x N )。
分块 左乘 B 1 即
x N =0
Bx B Nx N b