则A→1M＝－1，12，－1，

D→N＝0，1，12，
所以
cos〈A→1M，D→N〉＝
→→ A1M·DN →→
＝0，
|A1M||DN|
所以A→1M⊥D→N，故异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小为 90°.
[基础训练]
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( ) (2)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝ 0.( ) (3)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四点共面．( ) (4)已知 a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则 a，b 夹角的余弦值为－ 25 25 .( )
－1.因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选 B．
4．已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋ b与a－b的夹角是________．
答案：90° 解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b与a－b的夹角为90°.
第七章 第六节 空间向立量体及几其运何算
[考情展望] 1.考查空间向量基本定理及其意义.2.考查空间向量 的数量积及坐标运算.3.利用向量的数量积判断向量的平行与垂直关 系．
固本源 练基础 理清教材
[基础梳理]
1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：
名称
空间直角坐标系
坐标原点 坐标轴 坐标平面
4．空间向量的数量积及运算律
∠AOB 〈a，b〉 [0，π] |a||b|cos〈a，b〉 (1)(λb)·a λ(a·b) (2)b·a (3)a·b＋a·c
5．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，(a，b均为非零向量)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3
也是空间的一个基底．
其中正确的命题是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：对于①，如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的 一个基底，那么a，b的关系一定是共线，所以①错误．②③正确．
3．(2014·广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成
60°夹角的是( )
A．(－1,1,0)
5 ． 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成角的大小是________．
答案：90°
解析：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为 1，则
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，M0，12，0，N0，1，12，
B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1)
D．(－1,0,1)
解析：各选项给出的向量的模都是 2，|a|＝ 2.对于选项 A，设
b＝(－1,1,0)，
则 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝1×2×－12＝－12.
因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.
对于选项 B，设 b＝(1，－1,0)，则
M(x ， y ， z) ， 其 中 x 叫 做 点 M 的 ____________ ， y 叫 做 点 M 的
________，z叫做点M的________．
2．空间两点间的距离 (1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|A→B|＝______________. 特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|O→P|＝__________.
答案：1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．有以下命题：
①如果向量 a，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那
么 a，b 的关系是不共线；
②O，A，B，C 为空间四点，且向量O→A，O→B，O→C不能构成空间
的一个基底，那么点 O，A，B，C 一定共面；
③已知向量 a，b，c 是空间的一个基底，则向量 a＋b，a－b，c
内容 以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给 定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y 轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系_____
点O
__________________________ 通过每两个坐标轴的平面
O－xyz x轴、y轴、z轴
(2)空间中点M的坐标：
空 间 中 点 M 的 坐 标 常 用 有 序 实 数 组 (x ， y ， z) 来 表 示 ， 记 作
(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB
的中点坐标为________．
(2)横坐标 纵坐标 竖坐标
2．(1) x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 (2)x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2
x2＋y2＋z2
3．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充 要条件是存在实数λ，使得________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b________，那么向量p与 向量a，b共面的充要条件是存在________的有序实数对(x，y)，使 ________． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c____________， 那 么 对 空 间 任 一 向 量 p ， 存 在 有 序 实 数 组 {x ， y ， z} ， 使 得 __________________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． (1)a＝λb (2)不共线 唯一 p＝xa＋yb (3)不共面 p＝xa＋yb＋zc
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
1×1 2×
2＝12.
因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．
对于选项
C，设
b＝(0，－1,1)，则
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－1×1 2× 2
＝－12.因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.
对于选项 D，设 b＝(－1,0,1)，则 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ －2×1－12＝