)
.
3
O
A
C
M
D
B
例2 在空间四边形ABCD中，已知 AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
探究（二）：共线向量的概念与定理
思考1：如果表示空间向量的有向线段所 在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量，如果空间向 量a，b，c是一组平行向量，那么表示这 三个向量的有向线段所在的直线的位置 关系有哪几种可能？
思考2：对空间任意两个向量a，b，若 a＝λb，则a与b的有什么位置关系？反 之成立吗？
2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可 以转化为向量的数量积为零来处理，同 时，利用向量的数量积还可以计算夹角 和距离.
作业： P92练习：1，2，3.
空间向量及其运算 习题课
例1 在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC
的重心，求证：OuuMur
=
1
uuur (OA
+
uuur OB
+
uuur OC
uuur uuur uuuur uuAuur uuur B
(4)A B + BB1 - D1A1 + D1D - BC .
小结作业
1.空间向量是平面向量的拓展，其相关 概念、表示方法、和差运算法则和运算 律等，与平面向量具有一致性.
2.空间向量与平面向量的区别在于表示 空间向量的有向线段不一定共面，而表 示平面向量的有向线段一定共面.
是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|.若分析这三个 力至少为多大时，才能提起这块钢板，以及
这块钢板在这些力的作用下如何运动，需要
有空间向量的知识才能解决. F3
F1
F2
探究（一）：空间向量的有关概念 思考1：平面内既有大小又有方向的量与 空间中既有大小又有方向的量有本质差 别吗？如何定义空间向量？
对若空OuuPu间r =任x一OuuA点ur +O和yOu不uBur共+ 线zOu三uCur点，A则、点B、P在C，平 面ABC内的充要条件是 x＋y＋z＝1.
理论迁移
B是uuCuA例r B、1、AuC在uDuDr空的共间中面四点. 边，形求A证B：CDA向中量，EEu、uFurF与分别
E
B
D
F C
b
B
a
O
A
在空间任取一点O，作OuuAur ＝a，OuuBur ＝b， 则∠AOB叫做向量a与b的夹角， 记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.
思考2：对于空间两个非零向量a，b， 〈a，b〉与〈b，a〉，〈a，b〉与 〈－a，b〉的大小关系如何？
〈a，b〉＝〈b，a〉 〈a，b〉＋〈－a，b〉＝π
(λa)·b＝λ(a·b) ＝a·(λb)
思考5：a·(b＋c)与a·b＋a·c相等吗？如 何证明？ a·(b＋c)＝a·b＋a·c
思考6：(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什
么？ (a·b)·c≠a·(b·c)
不能
思考7：若a·b＝a·c，能得出b＝c吗？
理论迁移
例1 用向量方法证明三垂线定理：
向有什么关系？
概念：实数λ与向量a的乘积λa.
大小：|λa|＝|λ|·|a|;
方向：λ＞0时同向，λ＜0时反向， λ＝0时λa＝0.
思考2：平面向量的数乘运算在空间向量 中成立吗？对于实数λ，μ，则λ(μa)， (λ＋μ)a，λ(a＋b)分别等于什么？
λ(μa)＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
作业：P89练习：1，2，3.
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在平面中，什么叫向量？
即有大小又有方向的量叫做向量.
2.两个平面向量相加、相减的运算法则 分别是什么？
平行四边形法则，
三角形法则.
3.如图，一块质量为500kg的均匀正三角形钢
板，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个 力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都
Ou外uGur一例 k点2OuuO已Cur引知，向Ouu平Hur量行 Ouku四OuEuruDur边，kOu形uA求ur A，B证OuCuFuD：r ， k从OuuBur平，面AC （1）E、F、G、H 四点共面； （2）平面AC//平面EG． O
DC
A
B
H E
G F
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
思考4：空间一点P位于平面ABC内的充要
条件是什么？
C
P
A
B
存在有序实数对(x，y)，使
uuur uuur uuur AP = xAB + yAC
思变考形为5：，对OuuPur空- 间OuuAu任r =一x(点OuuBuOr ，- Ou上uAur述) +向y(O量uuCur式- 可OuuAur) 进一步变形可得什么结论？
探究（二）：空间向量的加减运算
思考1：对于两个平面向量，可以利用平
行四边形法则或三角形法则求作其和向
量与差向量，如果空间向量a与b所在直
线异面，如何求作它们的和向量与差向
量？ b
a＋b
b
a－b
a
a
思考2：如果空间三个向量a，b，c不共 面，如何求作它们的和向量？
c a+b+c
b a
思考3：如图，在平行六面体(底面是平
行向量四边AuuB形ur +的Au四uDur棱+ 柱AuuA)ur1AB表CD示－哪A1个B1向C1D量1中？，
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
uuur uuur uuur uuuur
A B + A D + A A1 = A C 1
思考4：对于空间向量a，b，向量a＋b与 b＋a相等吗？
b b+a a+b
=
uuur xOA
+
uuur yOB
，则点P、A、B共线的
充要条件是x＋y＝1；
点P为AB的中点的充要条件是
uuur OP =
1
uuur (OA
+
uuur OB )
2
探究（三）：共面向量的概念与定理
uuur 思考1：已知平面α和向量a，作OA = a ，
如果直线OA平行于α或在α内，则称向
量a平行于平面α，记作a//α.一组空间
探究（二）：数量积的运算性质
思考1：a·a等于什么？该等式有何应用 价值？
a·a＝|a|2，求向量的模.
思考2：对任意向量a，b，在什么条件
下a·b＝0？
a＝0或b＝0或a⊥b.
思考3：a·b与b·a有什么关系？如何解
释？
a·b＝b·a
思考4：设λ为实数，(λa)·b与λ(a·b)， a·(λb)有什么关系？如何证明？
3.1.3 空间向量的数量积运算
问题提出
t
p
1 2
5730
1.空间向量a，b(b≠0)共线的充要条件 是什么？
存在实数λ，使a＝λb.
2.如果向量a，b不共线，向量p与a，b共 面的充要条件是什么？
存在惟一的有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb.
uuur uuur uuur
3.若 OP = xOA + yOB，则点P、A、B共线 的充要条件是什么？
向量可以都与平面α平行吗？
a
O
A
αO
A
思考2：平行于同一平面的向量，叫做 共面向量，空间任意两个向量一定共面 吗？任意三个向量一定共面吗？
思考3：如果两个向量a，b不共线，若向 量p与a，b共面，由平面向量基本定理知， 存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.反之 成立吗？由此可得什么结论？
若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面 的充要条件是：存在惟一的有序实数对 (x，y)，使p＝xa＋yb.
思考3：若〈a，b〉＝90°，则向量a与b 的位置关系如何？
a⊥b
思考4：对于空间两个非零向量a，b，
|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 那么a·b有什么几何意义？
b
b
a
a
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投 影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a 在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
a
交换律：a＋b＝b＋a
思考5：如图，设OuuAur = a ，AuuBur = b ，BuuCur = c，
则(a＋b)＋c与a＋(b＋c)分别等于哪个
向量？由此得到什么结论？ O
结合律:
a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) A
C
b
c
相反向量 相等向量 B
思考6：若a＋b＝0或a－b＝0，则向量a
与b的关系分别是什么？
平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条
斜线垂直.
P
Ol A
例2 用向量方法证明直线和平面垂 直的判定定理：
已知m，n是平面α内的两条相交直线， 直线l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α．
l
g
αm