3. 1.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n Λ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则． 例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．分析：将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明：将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．解答：设E，E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有点评：在平面向量中，我们证明过以下命题：已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点P是平行四边形ABCD所在平面上任一点，则，本例题就是将平面向量的命题推广到空间来．Ⅲ.巩固练习Ⅳ.教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本1、2、⒉预习下一节：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？3.1.1空间向量及其运算（一）课前预习学案预习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 预习内容：1.———————————————叫空间向量．空间向量的表示方法有： -------------------2． --------------------------叫相等向量3.空间向量的运算法则：—————————————————— 提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 学习难点：应用向量解决立体几何问题． 学习过程：例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 例2、如图中，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1体对角线的交点，点P 是任意一点，则．当堂检测：1、下列说法中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B ．若非零向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C ．若D ．四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=2、已知空间四边形ABCD ，连AC ，BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．3、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =u u u r r，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r，则下列向量中与BM 相等的向量是 （ ）()A 1122a b c -++r r r ()B 1122a b c ++r r r()C 1122a b c --+r r r ()D c b a +-2121 五、课后练习与提高：1．对于空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，点P 满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r是点,,,P A B C 共面的（ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件MC1C B1D1A1BD()C 充要条件()D 既不充分也不必要条件2．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是上底面11A C 和侧面1CD 的中心，求下列各式中的,x y 的值： （1）11()AC x AB BC CC =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则x = ；（2）1AE AA x AB y AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则x = ；y = ；（3）1AF AD xAB y AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则x = ；y = ；3．已知平行六面体1111ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：（1）111AB C B CD -+=u u u r u u u u u r u u u u r ；（2）1AB AD AA ++=u u u r u u u r u u u r。

4．设1111ABCD A B C D -是平行六面体，M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的点，且13BN NC =，设1MN a AB bAD cAA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，试求,,a b c 的值。

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