考点三 空间向量的坐标运算——师生共研
例 3 (2019·安庆模拟)已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)， 设 a＝A→B，b＝A→C．
(1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值； (3)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值； (4)若 λ(a＋b)＋μ(a－b)与 z 轴垂直，求 λ，μ 应满足的关系．
____a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3_＝__0__ ____a_21＋__a_22_＋__a_32______
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3 cos〈a，b〉＝___a_21_＋__a_22＋__a_32_·__b_21_＋__b_22＋__b_23__
(
→→ OA＋AG1)
＝34O→A＋12A→E＝34O→A
＋14(A→B＋A→C)＝34
O→A＋14(O→B－
→ OA＋
O→C－O→A)＝14(O→A＋O→B＋O→C)，∴x＝y＝z＝14.
6．(2020·吉林省吉林市调研)在空间直角坐标系 O－xyz 中，A( 2，0,0)，B(0,3,0)， C(0,0,5)，D( 2，3,5)，则四面体 ABCD 的外接球的体积为____3_6_π___．
(2)M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋23[12(O→B＋O→C)－O→A] ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C． O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C．
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示
坐标表示
数量积 共线 垂直 模
a·b a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，b≠0)
|a|
___a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3____ ____a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝__λb_2_，__a_3_＝__λ_b_3___
第七章 立体几何
第六讲 空间向量及其运算
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 空间向量的有关概念
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量，其大小叫做向量的________或
〔变式训练 2〕 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足O→M＝13(O→A ＋O→B＋O→C)． (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
[解析] (1)由题知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， 所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， 所以M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， 所以 M，A，B，C 四点共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长的 2．
题组三 考题再现
4．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k＝( D )
A．－1
B．43
C．53
D．75
[解析] 由题意，得 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－ b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得 k＝75．
1．向量三点共线定理 →→→
在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理 →→→→
在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋ y＋z＝1)，O 为空间中任意一点．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论中正确的是( AC ) A．空间中任意两个非零向量 a，b 共面 B．对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c C．若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0 D．若 a·b＜0，则 a，b 是钝角
平行
重合
共线向量
平行向量 平面
2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的 λ ∈R，使 a＝λb. (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面⇔存在 唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的 一个基底．
向量 a，b 的数量积 a·b＝_____|a_|_|b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉________.
(2)空间向量数量积的运算律
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交换律：a·b＝b·a； 分配律：a·(b＋c)＝___a_·_b_＋__a_·c_____.
知识点二 空间向量的坐标表示及其应用
考点二 空间向量共线、共面定理的应用——师生共研
例 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，点 M， N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)．
(1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？
3．空间向量的数量积及运算律
→
→
(1)已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫
做向量 a，b 的夹角，记作___a_，__b__，其范围是____0_≤_a_，__b_≤_π___，若 a，b ＝π2，则 称 a 与 b___互__相__垂__直___，记作 a⊥b.
5．(2019·晋江模拟)设 O－ABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一 点，且 OG＝3GG1，若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则(x，y，z)为____(14_，__14_，__14_)_______.
[解析] 如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE.则O→G＝34O→G1＝34
______.
大小
方向
(2)相等向量：方长向度________且模模________的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________或________，则这些向量叫做
____________或____________.相同
相等
(4)共面向量：平行于同一________的向量叫做共面向量．
D．12a－12b＋c
[解析] B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
3．(必修 2P98T3)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为____2__．
[解析] |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋ C→D·D→F)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
(1)用基向量表示指定向量的方法
用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四 边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
(2)向量加法的多边形法则
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加 法的多边形法则．
[分析] 由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线 就是四面体 ABCD 外接球的直径．
[解析] 取 E( 2，0,5)，F( 2，3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，则 OAFB－CEDG 是长 方体，其对角线长为 l＝ 22＋32＋52＝6，∴四面体 ABCD 外接球半径为 r＝2l ＝3.V ＝43πr3＝43π×33＝36π，故答案为：36π．
题组二 走进教材
2．(必修 2P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝ c，则下列向量中与B→M相等的向量是( A )
A．－12a＋12b＋c
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
[解析] (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B ＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1
＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1， ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面． (2)当 k＝0 时，点 M、A 重合，点 N、B 重合， MN 在平面 ABB1A1 内，当 0＜k≤1 时， MN 不在平面 ABB1A1 内， 又由(1)知M→N与A→B、A→A1共面， 所以 MN∥平面 ABB1A1．
(2)在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G．
(2)在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G．