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文档之家› 八年级数学竞赛专题训练07 分式的化简与求值(附答案)
八年级数学竞赛专题训练07 分式的化简与求值(附答案)
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与自动扶梯的级数相等,两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离).求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?
(江苏省竞赛试题)
专题07 分式的化简求值
例1 提示:
例2 A 提示: = = ,得k= ,又
∴这个三角形为等腰三角形.
13. 3x= ,y= ,c= ,∴ + = + =1,∴原式=3.
14.(1)x=-
(2)x=
(3)(x,y,z)=( , , )提示:原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.
B级
1. 2
2.-1或8提示:设 = = =k,则k=-1或2 3.
4. 0提示:由 =1- - ,得: =x- - 5.A6.C
例3油x+y+z=3a,得(x-a)+(y-a)+(z-a)=0.设x-a=m,y-a=n,z-a=p,则m+n+p=0,即p=-(m+n).
原式= = = =-
例4 x= 提示:由已知条件知xy≠0,yz≠0,取倒数,得: 即
①+②+③,得
例5 提示:由已知条件,得 =
=
例6 由勾股定理,结论可表示为等式:a=b+c,①或b=a+c,②或c=b+a,③,联立①③,只需证a=16或
13.已知 ,求 的值.
(“华杯赛”试题)
14.解下列方程(组):
(1) ;
(江苏省竞赛试题)
(2) ;
(“五羊杯”竞赛试题)
(3) .
(北京市竞赛试题)
B级
1.设 满足 , ,若 ,
,则 .
2.若 ,且 ,则 .
3.设 均为非零数,且 ,则 .
4.已知 满足 ,则 的值为.
5.设 是三个互不相同的正数,已知 ,那么有().
11.提示:参见例5得(a+b)(b+c)(a+c)=0
12.(1)∵ = ,∴(b+c)(ab+ac-a2-bc)=0.∴(b+c)(a-b)(c-a)=0.
∵b+c≠0,∴a=b或c=a.∴这个三角形为等腰三角形.
(2)∵ + = + ,∴ =
∴(a-b+c)=ac,∴(a-b)(b-c)=0,a=b或b=c,
a≠0. = =3.把①代入上式中,
=3,消元得 =3,解得m=19.
11.设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天,则
即
解得x= .
12.由A+B+C=-3得( +1)+
即
分解因式,得(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)=0
b+c-a,a+b-c,a-b+c中至少有一个为0,不妨设b+c-a=0,代入式中,
又∵ =5,∴ =
3. 4.3 5.A
6.C提示:b2+c2-a2=-2bc
7.B
8.C提示:取倒数,得x+ =1+m,原式的倒数=x3+ -m3
9. 1提示:2a2+bc=2a2+b(-a-b)=a2-ab+a2-b2=(a-b)(a+a+b)=(a-b)(a-c)
10.提示:由x+ =y+ ,得x-y= - ,得zy=
(北京市竞赛试题)
10.已知 ,且 .求 的值.
(北京市竞赛试题)
11.完成同一件工作,甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的 倍,乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的 倍;丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的 倍,
求证: .
(天津市竞赛试题)
12.设 ,当 时,
求证: .
(天津市竞赛试题)
13.某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的,每次只跨1级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
8.已知 ,则 的值为()
A.1 B. C. D.
9.设 ,求 的值.
10.已知 其中 互不相等,求证 .
(天津市竞赛试题)
11.设 满足 ,
求证 .( 为自然数)
(波兰竞赛试题)
12.三角形三边长分别为 .
(1)若 ,求证:这个三角形是等腰三角形;
(2)若 ,判断这个三角形的形状并证明.
【例5】不等于0的三个正整数 满足 ,求证: 中至少有两个互为相反数.
解题思路: 中至少有两个互为相反数,即要证明 .
(北京市竞赛试题)
【例6】已知 为正整数,满足如下两个条件:①
② .求证:以 为三边长可以构成一个直角三角形.
解题思路:本题熟记勾股定理的公式即可解答.
(全国初中数学联赛试题)
能力训练
(五城市联赛试题)
解题思路:引入参数 ,把 用 的代数式表示,这是解决等比问题的基本思路.
【例3】 .
求 .
(宣州竞赛试题)
解题思路:观察发现,所求代数式是关于 的代数式,而条件可以拆成 的等式,因此很自然的想到用换元法来简化解题过程.
【例4】已知 求 的值.
(上海市竞赛试题)
解题思路:注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组,考虑取倒数,将方程组化为简单的形式.
A2002+B2002+C2002=(-1)2002+12002+12002=3.
13.(1)设女孩速度x级/分,电梯速度y级/分,男孩速度2x级/分,楼梯S级,则
得 ∴S=54.
(2)设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编,走过楼梯n编,则女孩走过扶梯(m-1)编,走过楼梯(n-1)编,男孩上扶梯4x级/分,女孩上扶梯3x级/分.
或b=16或c=16,即(a-16)(b-16)(c-16)=0.④
展开只需证明
0=abc-16(ab+bc+ac)+162(a+b+c)-163=abc-16(ab+bc+ac)+163⑤
将①平方、移项,有a2+b2+c2=322-2(ab+bc+ca),⑥
又将②移项、通分,有
0= -( + + )
,即 ,得6n+m=16,m,n中必有一个是正整ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,且0≤︱m-n︱≤1.
① ,m分别取值,则有
m
1
2
3
4
5
n
2
②m=16-6n,分别取值,则有
m
1
2
n
10
4
显然,只有m=3,n= 满足条件,故男孩所走的数=3×27+ ×54=198级.
∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶.
1.恰当引入参数;
2.取倒数或利用倒数关系;
3.拆项变形或拆分变形;
4.整体代入;
5.利用比例性质等.
例题与求解
【例l】已知 ,则代数式 的值为.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:目前不能求出 的值,但可以求出 ,需要对所求代数式变形含“ ”.
【例2】已知一列数 且 , ,
,则 为()
A.648 B.832 C.1168 D.1944
= -( + + )
=
=
把⑥代入等式中,
0=
=
=
当a-16=0时,由①有a=16=b+c,由勾股定理逆定理知,以 , , 为三边长组成一个以 为斜边的直角三角形.
同理,当b=16或c=16时,分别有b=a+c或c=b+a,均能以 , , 为三边长组成一个直角三角形.
A级
1. 0或-2
2. ∵ =1,∴x+ =4.
A. B. C. D.
6.如果 , ,那么 的值为().
A.3 B.8 C.16 D.20
7.已知 ,则代数式 的值为().
A.1996 B.1997 C.1998 D.19999
8.若 ,则 的值为().
A. B. C.5 D.6
(全国初中数学联赛试题)
9.已知非零实数 满足 .
(1)求证: ;
(2)求 的值.
八年级数学竞赛专题训练07分式的化简与求值
阅读与思考
给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.
解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标.又要抓住条件,既要根据目标变换条件.又要依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧:
1.若 ,则 的值是.
(“希望杯”邀请赛试题)
2.已知 ,则 .
(广东竞赛试题)
3.若 且 ,则
的值为.
(“缙云杯”竞赛试题)
4.已知 ,则 .
5.如果 ,那么 ().
A.1 B.2 C. D.
(“新世纪杯”竞赛试题)
6.设有理数 都不为0,且 ,则 的
值为().
A.正数B.负数C.零D.不能确定
7.已知 ,则 的值为().
7.D提示:原式= =
=
=
=x2-5x+8
8.A提示:由已知条件得x=3y
9.(1)由a+b+c=0,得a+b=-c∴a3+b3+c3=-3ab(a+b)=3abc
(2)∵( + + )· =1+ ,∴同理:
( + + )· =1+ ,
( + + )· =1+ ,
∴左边=3+ + + =3+ =9
10.∵a2+4a+1=0,∴a2+1=-4a,①