第1章 函 数§1.1 函数的概念与性质1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2）2112a ba b+≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，12212111nn n nx x x n x nx x x +++≤≤+++（3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22a ba b a b -+=- 2. 函数概念与性质对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。

注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。

（1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ∀∈<1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤⇒⎧⎨≥⇒⎩单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x <⇒⎧⎨>⇒⎩严格单增严格单减（3）奇偶性 ()()()()()()f x f x f x y f x f x f x -=⇒⎧⎨-=-⇒⎩为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。

（4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。

（5）有界性 若D x ∈∀，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。

常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；arcsin 2x π≤，arccos x π≤，[]1,1-；arctan 2x π<，arccot x π<，(,)-∞+∞3. 复合函数设)(u f y =的定义域为f D ，)(x u ϕ=的值域为ϕZ ，且Φ≠ϕZ D f （空集），则称[])(x f y ϕ=为x 的复合函数。

4. 反函数 设1()()f f ffy f x D Z y f x Z D -=⎧⎪⎨=⎪⎩定义域为值域为定义域为值域为注意：正反函数的图形对称于直线x y =；严格单调函数必有反函数；1()f f x x -⎡⎤=⎣⎦()f x f x Z ∈的；[]1()f f x x -= ()f x f x D ∈的 5. 初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

基本初等函数：幂函数μx y =（μ为实数）；指数函数xa y =（0>a ，1≠a ）；对数函数x y a log =（0>a ，1≠a ）；三角函数x y sin =，x cos ，x tan ，x cot ，x sec ，x csc ；反三角函数x y arcsin =，x arccos ，x arctan ，x arc cot .６. 分段函数与幂指函数分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示； 幂指函数xy x =一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定0x >，则ln x x x y x e ==，是初等函数。

§1.2 典型例题解析例3 已知不等式211x x +>-，用区间表示不等式的解集 分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于12x =-，1x =分别为21x +，1x -的零值点，于是将区间划分为1(,)2-∞-，1[,1]2-，(1,)+∞，再考虑各小区间x 的取值范围及端点，最后综合得出结论。

解法1 1211(,)21211211(,1)2211(1,)x x x x x x x x ⎧-->--∞-⎪⎪⎪+>-=+>--⎨⎪+>-+∞⎪⎪⎩12(,)210(,1)22(1,)x x x ⎧<--∞-⎪⎪⎪=>-⎨⎪>-+∞⎪⎪⎩⇒ (,2)(0,)x ∈-∞-+∞解法2 22(21)(1)x x +>- ⇒ (2)0x x +> ⇒ (,2)(0,)x ∈-∞-+∞1. 函数定义域的求法解题思路（1）分式的分母0≠，对数的真数0>，偶次方根下的表达式0≥，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值1≤；（2）复合函数的定义域=简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。

例4 求下列函数的定义域（1）1arcsin4xy -=+； 解 21141lg(2)020340xx x x x ⎧-≤⎪⎪⎪--≥⎨⎪->⎪--≠⎪⎩ ⇒351221;4x x x x x -≤≤⎧⎪≤⎪⎨>⎪⎪≠-≠⎩ ⇒ (](2,4)4,5（2）已知()f x 的定义域是[]0,1，试求()()f x a f x a ++- (0)a >的定义域 解 ()f x a +的定义域：01x a ≤+≤ ⇒ 1a x a -≤≤-()f x a -的定义域：01x a ≤-≤ ⇒ 1a x a ≤≤+； ()()f x a f x a ++-的定义域：[][],1,1x a a a a ∈--+当1a a -<，12a >时，定义域为空集；当1a a -≥，12a ≤时，定义域为[],1a a -；故取交集定义域为[],1a a -2. 函数解析式的求法解题思路（1）将已知变量凑成与()f 内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解； （2）对()f 内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。

（3）由[]()f x ϕ的表达式求)(x f 的一般方法是令()u x ϕ=，从中解出1()x u ϕ-=，将其代入[]()fx ϕ中可得()f u例5 求下列函数解析式（2）已知x xbf x af sin )1()(=-+，()a b ≠, 求)(x f ； 解 令x t 1-=代入原式得 11()()sin()bf t af t t+-=-，则 1()()sin 11()()sin()af x bf x xbf x af x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩⇒ )1sin sin (1)(22x b x a b a x f +-= （3）已知411()ln ln(1)2f x x x x +=-+,求)(x f ； 解法12442221111111()ln ln(1)ln ln ln 1122122()2x f x x x x x x x x x+=-+===+++-令1x t x +=，则 211()ln 22f t t =- ⇒ 211()ln 22f x x =- 解法2 将x 换成1x，得4111()ln ln(1)2f x x x x +=--+，和原式相加得4411112()ln(1)ln(1)22f x x x x+=-+-+222211111()ln()ln ()242f x x x x x x ⎡⎤+=-+=-+-⎢⎥⎣⎦令1x t x +=，则 211()ln 22f t t =- ⇒ 211()ln 22f x x =- 例6 求下列函数解析式（1）已知221(ln )1x f x x -=+，()x ϕ的定义域为0x <，且[]()x f x e ϕ=，求()x ϕ解 令ln u x =，22ux e =，221()1u u e f u e -=+，且[]()xf x e ϕ=，则2()2()11x x x e e e ϕϕ-=+ ⇒ 2()11x x xe e eϕ+=- ⇒ 11()ln 21x x e x e ϕ+=-（0x <） （2）已知11(ln )ln 01x x f x x x ->⎧=⎨<≤⎩，求)(x f解 令ln u x =， ux e =，则110()010u u ue e uf u u e u ⎧->⇒>=⎨<≤⇒≤⎩ ⇒ 10()0x e x f x xx ⎧->=⎨≤⎩ 3. 利用定义确定函数的有关特性解题思路（1）若()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数；（2）若T 是()f x 的周期，则()b ax f +的周期为/T a ；若()f x ，()g x 分别是以1T ，2T 12()T T ≠为周期的函数，则()()f x g x ±的周期为1T ，2T 的最小公倍数。

（3）将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性； （4）若12x x <，且21()()0f x f x -≥，21()/()1f x f x ≥，则可确定()f x 单增性。

例7 设)()()(y F x F y x F +=+，求)1121)((xax F y +-=，(0,1)a a >≠的奇偶性 解 设)1(211121)(x x x a a a x g +-=+-=，11()()2(1)2(1)x x x x a a g x g x a a -----==-=-++ 由于)()()(y F x F y x F +=+，分别令0=y ，x y -=，得0)0(=F()()(0)0F x F x F +-== ⇒ )()(x F x F -=-即)(x F 为奇函数，故)1121)((xa x F y +-=为偶函数。

例8 设()f x 在[],a a -(0)a >上有定义，证明：()f x 可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一分析 若()()x x ϕϕ-=，()()x x ψψ-=-，则有()()()f x x x ϕψ=+，()()()f x x x ϕψ-=-，由此引入辅助函数证 设[]1()()()2x f x f x ϕ=+-，[]1()()()2x f x f x ψ=-- [][]11()()()()()()22x f x f x f x f x x ϕϕ-=-+=+-=[][]11()()()()()()22x f x f x f x f x x ψψ-=--=---=-故()x ϕ为偶函数，()x ψ为奇函数，且[][]11()()()()()()()22x x f x f x f x f x f x ϕψ+=+-+--=唯一性：设另有偶函数1()x ϕ及奇函数1()x ψ使得11()()()f x x x ϕψ=+，则1111()()()()()()()()x x x x x x x x ϕψϕψϕϕψψ+=+⎧⎨---=---⎩ ⇒ 1111()()()()()()()()x x x x x x x x ϕϕψψϕϕψψ-=-⎧⎨-=-+⎩ 解得1()()x x ϕϕ=，1()()x x ψψ=，即表示法唯一。