28
第三节 初等函数
二、基本初等函数
正切函数 y = tanx 的定义{域x | x k , k Z}
2
为
， 值域为
(– ，+ ) 。y 它是奇函数，是周期为 π 的周期函数y 。
2
2
x
2
2
x
余切函数 y = cotx 的定义{域x | x k , k Z}
为
， 值域为 (– ，+ ) 。它是奇
易于接受，并且较为合理的函数概念。
定义 设 x 和 y 是两个变量。D是一个给定的数集，如果对于每
个数 x D，变量按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x
的函数，记作
y = f (x)
因变量
自变量
数集 D 叫做这个函数的定义域。对应的 y 值的变化范围叫做函数的 值域，记作
W {y | y f (x) , x D}
O
x
24
第三节 初等函数 2. 幂函数
二、基本初等函数
函数
y xk （k 为常数）
称为幂函数。对于任意的 k， xk 在 (0，+ )内都有定义；对于不同 的 k， xk 的定义域有所不同。
幂函数的图像过点（1，1）。
y y = x2
1
y=x
y x
O1
x
y1 x
25
第三节 初等函数 3. 指数函数
14
第二节 函数的特性
2. 函数的单调性
定义 设函数 y = f (x) 的定义域为D，I区间D
于区间 I 内的任意两点 x1 及 x2， 当 x1 < x2 时，恒有
。如果对
f (x1) f (x2 )
则称函数 f (x) 在区间 I 内是单调增加的（简称递增）；如果对于区间 I
内的任意两点 x1 及 x2， 当 x1 < x2 时，恒有
19
第三节 初等函数
第三节 初等函数
一、反函数
在函数关系中，自变量和因变量的地位往往是相对的，可以把任意一 个变量看作是自变量或因变量。
定义 设函数 y = f (x) 的定义域为 D ，值域为 W。如果对于 W 中的每一个 y，都有唯一的 x ∈D，使得 f (x) = y ，此时得到一个定义在 W 上的新函数，此函数称为 y = f (x) 的反函数，记作
x
16
第二节 函数的特性
3. 函数的奇偶性
定义 设函数 y = f (x) 的定义域 D 关于原点对称（即若 x∈D，
则
-x∈D ），如果对于任意 x ∈D，有
f ( - x) = f (x)
f (- x) = -f (x)
则称 f (x) 为偶函数；
y y f (x)
f (x)
–x O
f (x)
在正数 M，使得对于任意 x ∈I，恒有
。如果存
| f (x) | M
则称函数 f (x) 在区间 I 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f (x)
在区间 I 上无界。 M
y y=f(x)
o
x
X
y M
x0
o
X
x
-M
有界
-M
无界
13
第二节 函数的特性
显然，如果函数 f (x) 在区间 I 上有界，使上述不等式成立的常数 M不是唯一的，有界性体现在常数 M 的存在性。
表示的函数。
x2 1, x 0 f (x)
2x 1, x 0
y
分段函数是定义域 上的一个函数，不是多个函
y = x2-1
y = 2x-1
数，分段函数需要分段求值， 分段作图。
-O
1
x
1
-1
11
第二节 函数的特性
第二节 函数的特性
1. 函数的有界性
定义 设函数 y = f (x) 的定义域为D，I 区 间D
5
第一节 函数及其表示法
例1-1 求下列函数的定义域：
（1） f ( x) 4 x x 1
解：
由
4
x
x0 1 0
解得 1
x4
所以函数定义域为 { x |1 x 4}
x 1 （2） f ( x) x2 3x 2
解：
由
x 1 0
x
2
3x
2
0
解得 x 1 且 x 1、x 2
所以函数定义域为（1，2）（2， ）
6
第一节 函数及其表示法
函数的表示方法一般有三种：公式法，图示法，表格法。公式法也叫 解析法，常用于理论研究，是我们使用最多的方法。
求函数解析式常见方法有定义法、待定系数法、换元法、配凑法。
例1-2 求
求 f (1。
x) x
f (x)
解： 得
令 1
x。 t
x (1，则t )2
高等数学是从研究函数开始的。 本章将在已有函数知识的基础上，进一步 理解函数概念，并介绍反函数、复合函数 及初等函数的主要性质，为高等数学后续 几章的学习打下基础。
1 函数及其表示法 2 函数的特性 3 初等函数
第一节 函数及其表示法
第一节 函数及其表示法 函数的概念是德国数学家狄利克莱在1837年抽象出的，至今仍为人们
4
第一节 函数及其表示法 由函数的定义可以看出，函数概念有两个要素：定义域和对应法则。
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则这两个函数就是相同的， 否则是不同的。 求函数定义域的常见方法：
① 分式的分母不为零； ② 偶次根式中被开方数非负； ③ 对数的底数大于零且不等于1，真数大于零； ④ 实际问题要考虑使问题有实际意义； ⑤ 若函数由多个式子表示，求出它们的交集。
函数，是周期为 π 的周期函数。 29
第三节 初等函数
二、基本初等函数
6. 反三角函数
反正弦函数
y
=
arcsinx
是
y
=x sinx2
,
2
的反函数，其定义域为 2[–, 21， 1] ，值域为
，y 是单 调增加
2
的奇函数。
反余弦函数 y = arccosx 是 y = cosx（x∈[0， π]）的反函数，其定义域为
f (x1) f (x2 )
则称函数 f (x) 在区间 I 内是单调减少的（简称递减）。
单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。使函数保持单调的区
间叫做单调区间。
15
第二节 函数的特性
单调增加函数的图像是沿 x 轴正向 逐渐上升的，可以用符号↗表示；单调减少 函数的图像是沿 x 轴正向逐渐下降的，可 以用符号↘表示。例如：
正割函数 secx ，余割函数 cscx 。
正弦函数 y = sinx 的定义域为 (– ，+ ) ， 值域为 [–1，1] 。
它是奇函数，是周期为 2π 的周期函数。
y
2
1
2பைடு நூலகம்
x
-1
y
1
2
-1 2
x
余弦函数 y = cosx 的定义域为 (– ，+ ) ， 值域为 [–1，1] 。 它是偶函数，是周期为 2π 的周期函数。
x
x
则称 f (x)为奇函数。
y
y f (x)
– x
f (x)
f (x)
O
xx
17
第二节 函数的特性
奇函数的图形是关于原点中心对称的，偶函数的图形是关于轴对称 的➢ 。两个奇函数之和仍是奇函数，两个偶函数之和仍是偶函数； ➢ 两个奇函数之积是偶函数，两个偶函数之积也是偶函数； ➢ 一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。
对调 x 与 y ，把反函数
x f 1( y)
y
y = f -1
(x) y = x
改写成
y f 1(x)
Q (b , a)
y = f (x)
今后提到的反函数，一般就是
P (a ,
指这种经过改写的反函数。函数与反函
b)
数的图像关于直线 y = x 对称。
O
x
22
第三节 初等函数
一、反函数
例1-9 （
函数的图像过点（1，0）。
y = loga x
当 0< a <1 时，函数 loga x 单
0< a < 1
调减少；
当 a >1 时，函数 loga x 单调增
加。
特别的，当 a = e 时，对数函数为 y = lnx （不提底数时默认特
指）。
27
第三节 初等函数
二、基本初等函数
5. 三角函数
三角函数有六个，它们是正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，
函数的有界性依赖于区间，例如：
函数 y 1 在区间（1，2）内有界，而在区间（0，1）内无界。 x
函数的有界性还可以表述为：如果存在常数 M1、 M2，使得对于任意 x ∈I，恒有
M1 f (x) M2
则称函数 f (x) 在区间 I 上有界， M1 称为函数 f (x) 在区间 I 上的下界， 有界，M2 称为函数 f (x) 在区间 I 上的上界。
O
x
特别的，当 a = e 时，指数函数为 y = e x （不提底数时默认特 指）。
26
第三节 初等函数
二、基本初等函数
4. 对数函数 函数
y loga x
y = loga x
y
a>1
（a 为常数且 a > 0， a ≠1）
(1, 0)
称为对数函数，它是指数函数的反函数。其 O
x
定义域为(0，+ ) ， 值域为(– ，+ ) 。