( ) −2 (a1b1 + a2b2 +L + anbn ) x + b12 + b22 +L + bn2
Q
f
(x)
≥
0∴∆
≤
0(Q ax2
+
bx
+
c
≥
0
⇒
x2
+
b a
x
+
c a
≥
0
⇒
(x
+
b )2 2a
−
b2 4a2
+
c a
≥
0
⇒ b2 − 4ac ≤ 4a2 (x + b )2即b2 − 4ac ≤ 0) 2a
( )( ) φ ϕ + ϕ φ = ψ − i∆Aˆ ∆Bˆ + i∆Bˆ ∆Aˆ ψ = ψ − i Aˆ − Aˆ Bˆ − Bˆ ( )( ) +i Bˆ − Bˆ Aˆ − Aˆ ψ = ψ − iAˆ Bˆ + iBˆ Aˆ ψ = −i ψ Aˆ − Bˆ ψ = −i Aˆ − Bˆ
代回(2)式，有
å å ln y = y m ln lm = y md nm =y n
m
m
å å y = ln y n = ln ln y
n
n
由于 y 是任意态矢量，所以上式表示
å ln ln = 1
(3)
n
{ } { } 这就是本征态矢量组 ln 的完备性公式，它在由 ln 张成的线性空间成立。其中的
两次进行。
[ ] 将 qr , ps = ihδrs 代入(7)式，就得到下述 Heisenberg 测不准关系
线性变换
∆q∆p ≥ h 2
a → a' = Uˆ a , a → a' = a Uˆ
c = Aˆ b 用Uˆ作用→ c' = UˆAˆ b = UˆAˆ UˆUˆ b = Aˆ ' b'
第一章 基本原理 波函数 观测量的本征态、算符、本征值方程、测不准定理 线性变换 幺正变换 统计系综
第一章 基本原理
波函数 态矢量 ψ 在某个方向 q 的投影 q ψ ，称为态在该方向的波函数，记为ψ (q) ，
ψ (q) = q ψ
例如：ψ (rr) = rr ψ ,ψ ( pr) = pr ψ 。
φ = i∆Aˆ ψ , ϕ = ∆Bˆ ψ
由于观测量的算符是厄米的， Aˆ † = Aˆ , Bˆ † = Bˆ ，有
( ) ( ) φ φ = ψ i∆Aˆ i∆Aˆ ψ = ψ ∆Aˆ 2 ψ = ∆Aˆ 2 ( ) ( ) ϕ ϕ = ψ ∆Bˆ∆Bˆ ψ = ψ ∆Bˆ 2 ψ = ∆Bˆ 2
ln
÷ ø
y
=
n
ln ln ln
y
=j
åln
ln
ö÷ ø
=
n
y
ln
ln
ln
=
c
用(5)式定义的算符 Lˆ 作用于它的本征态 ln ，代入(1)式，可以得到
å Lˆ ln
æ =ç
èn
ln
ln
ö
ln
÷ ø
ln
= ln ln
这就是从算符 Lˆ 求它的本征态和本征值的本征值方程。
能够表示一个物理观测量的算符，在数学上必须满足的条件是：线性，厄米性，在态矢 量空间内作用，本征态组有完备性。
测不准定理 对于任意两个物理观测量 A 与 B ，在任一态 ψ 上测量它们，所得结果的均方
差满足不等式
( ) ( ) ∆Aˆ 2
∆Bˆ 2
≥1 4
i Aˆ , Bˆ 2
(7)
证明 对于任意一个归一化态矢量 ψ ，令
幺正变换
Aˆ ' = UˆAˆ Uˆ
求 Aˆ ' = UˆAˆ Uˆ 的共轭，并要求它不变，有
( ) ( ) Aˆ ' = UˆAˆ Uˆ −1 = Uˆ −1 Aˆ Uˆ Uˆ −1Aˆ 'Uˆ =Uˆ −1UˆAˆ Uˆ −1Uˆ =Aˆ →Uˆ −1Uˆ −1Aˆ 'UˆUˆ = UˆUˆ −1 Aˆ ' UˆUˆ = Aˆ ' ( ) ( ) ( ) 两边同除 UˆUˆ −1 得： Aˆ ' UˆUˆ = Aˆ ' UˆUˆ ，此式成立的条件是UˆUˆ = c, c 是一实常数。
⋅ϕϕ
≥
1 4
φ
ϕ
+ ϕφ
2
( ) ( ) ( ) Cauchy − Schwarz不等式 : a12 + a22 +L + an2 b12 + b22 +L + bn2 ≥ a1b1 + a2b2 +L + anbn 2
( ) f (x) = (a1x − b1)2 + (a2 x − b2 )2 +L + (an x − bn )2 = a12 + a22 + L + an2 x2
å Lˆ º ln ln ln
(5)
n
算符 Lˆ 可以从左边作用于右矢量 y ，得到一个新的右矢量 j ，或从右边作用于左矢量
1
第一章 基本原理 波函数 观测量的本征态、算符、本征值方程、测不准定理 线性变换 幺正变换 统计系综
y ，得到一个新的左矢量 c ，
å å Lˆ y
æ =ç
èn
ö
ln
ln
( )( ) ∴ −2 (a1b1 + a2b2 +L + anbn )2 − 4 a12 + a22 +L + an2 b12 + b22 +L + bn2 ≤ 0 ⇒ ( )( ) ( ) a1b1 + a2b2 +L + anbn 2 ≤ a12 + a22 +L + an2 b12 + b22 + L + bn2
ln ln 是把态矢量 y 投影到 ln 方向的投影算符。(3)式的几何含义是，任一态矢量在空间
所有方向的分量的和应等于它自己。 观测量的算符和本征值方程
在态 y 上测量 L 多次所得平均值 L 的计算公式为
å å L = ln ln y 2 = y ln ln ln y = y Lˆ y
n
n
其中 y 是归一化态矢量， Lˆ 是下述线性算符
另一方面，令 χ = γ φ + ϕ ,γ 为任意实数，则
χ χ =γ2 φ φ +γ ( φ ϕ + ϕ φ )+ ϕ ϕ
χ χ ≥ 0 的条件为
2
第一章 基本原理 波函数 观测量的本征态、算符、本征值方程、测不准定理 线性变换 幺正变换 统计系综
φϕ
+ ϕφ
≥ 0 Cauchy−Schwarz不等式→ φ φ
观测量的本征态 正交归一性
ln lm = d nm
(1)
完备性
{ } 任意可观测量 L 的物理态 y ，根据态的叠加原理，可以写成本征态组 ln 的展开式
å y = y n ln
(2)
n
{ } 称为本征态组 ln 的完备性。其中的展开系数y n 相当于态矢量 y 在坐标轴 ln 上的坐标。
计算 y 与 ln 的内积
于是
( φ ϕ + ϕ φ )2 ≤ ( φ φ + ϕ ϕ )( ϕ ϕ + φ φ ) = 4 φ φ ⋅ ϕ ϕ
φ φ , ϕ ϕ , φ ϕ + ϕ φ 代入即得结果。
有时说在任一态上“同时测量” A 与 B ，这并不一定是在一次测量操作中既测量 A 也 测量 B 。当 A 与 B 相容时，测量可以在一次操作中完成，而当它们不相容时，测量只能分