《计算机数学基础(下)》数值分析试题 2000、8
之六(2002、7已用) 一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.数值x *的近似值x =0.1215×10－
2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字.
(A)
21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 2
1×10－6
2. 设矩阵A ＝⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )
(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡04.02.01.002.01.02.00 (B) ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡14.02
.01.012.01.02.01
(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------04.02.01.002.01.02.00 (D) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡021
102120
3. 已知y =f (x )的均差f (x 0,x 1,x 2)=314，f (x 1,x 2,x 3)=315，f (x 2,x 3,x 4)=15
91，f (x 0,x 2,x 3)=318
,
那么均差f (x 4,x 2,x 3)=( )
(A) 315 (B) 318 (C) 1591 (D) 3
14
4. 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,15
2,4516,907)4(2)4(1)
4(0===C C C 那么
)4(3C ＝( )
90
39
152********)D (152)C (4516)B (907)A (=---
5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) e x －x －1＝0，[1,1.5]，令x k +1=1e -k x
(B) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令211
1k
k x x +=+
(C) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令32
11k k x x +=+
(D) 4－2x =x ，[1,2], 令)4(log 21x x k -=+
二、填空题(每小题3分，共15分) 6.sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 7.设矩阵A 是对称正定矩阵，则用 迭代法解线性方程组A X =b ，其迭代解数列一定收敛. 8. 已知f (1)=1,f (2)=3,那么y =f (x )以x =1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 .
9. 用二次多项式2210)(x a x a a x ++=ϕ,其中a 0, a 1, a 2是待定参数，拟合点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ). 那么参数a 0, a 1, a 2是使误差平方和 取最小值的解.
10. 设求积公式
∑⎰=≈n
k k k
b
a
x f A
x x f 0
)(d )(，若对 的多项式积分公式
精确成立，而至少有一个m +1次多项式不成立。
则称该求积公式具有m 次代数精度.
三、计算题(每小题15分，共60分) 11.用列主元消去法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+-=+-6
15318153312321321321x x x x x x x x x
计算过程保留4位小数.
12. 取m =4,即n =8，用复化抛物线求积公式计算积分
⎰
+2
.10
2d )1l n (x x
计算过程保留4位小数.
13. 用牛顿法解方程x －e －
x =0在x =0.5附近的近似根. 要求n n x x -+1<0.001. 计算过程保留5位小数. 14.取h =0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题
⎩⎨
⎧=++='1
)0(12
y y x y 在x =0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数. 四、证明题(本题10分） 15.
求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1.
《计算机数学基础(下)》数值分析试题答案 2000、8
之六
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1. D
2.A
3.C
4. B
5.A
二、填空题(每小题3分，共15分)
6. 00625.01016
1
10821112=⨯=⨯⨯-+-
7. 高斯－赛德尔
8 2x －1. 9.
∑=-n
k k k
x y
1
2
))((ϕ或
∑=---n
k k k k
x a x a a y
1
2
2210)(
10. 不超过m 次
三、计算题(每小题15分，共60分)
11. [A b ]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----6111151318153
312 (选1821-=a 为主元) (5分)
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−6111153312151318)
,(21r r (换行，消元)
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−++
7166.54944.07
166.1053333.210
151
318
1
3121811812
r r r r (选1667.132=a 为主元，并换行消元) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+5428.98142.300
1667.54944.01667
.10151
3182
3321667.11
)
,(r r r r (10分)
系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解
000.1)18/(]0000.230000.315[0000.27166.1/]0000.34944.07166.5[0
000.38
142.35428.9123=-⨯-+-==⨯-===x x x 方程组的解为X ≈(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T (15分).
12. 解 n =8, h =15.08
2.1=-,f (x )=ln(1+x 2)
计算列表
代入抛物线求积公式
)](2)(4[3
d )1ln(6427531802.102f f f f f f f f f h x x ++++++++=+⎰
＝4225.0]987.023961.148920.0[315
.0=⨯+⨯+ (15分)
13. 令f (x )= x －e －x
，取x 0=0.5，则)e )(e 5.0()5.0()5.0(5.05.0----=''f f =0.064 61>0，
于是取初始值x 0=0.5. (3分) 牛顿迭代公式为
n n
x x n n n n n n x x x f x f x x --++--='-=e 1e )()(1(n =0,1,2,…) (7分)
x 0=0.5,
56631.0e
1e 5.05.05
.05
.01=+--=--x (11分) 31066.001=-x x
(7分)
14567.0e
1e 31566.031566.031
566.031
566.02=+--=--x
001.083000.012<=-x x
于是取x =0.56714为方程的近似根. (15分) 14. 预报－校正公式为
⎪⎩
⎪
⎨⎧+++++=++=+++=+=++++++)
2(2)],(),([2)
1(),(2112
11121k k k k k k k k k k k k k k k x k k y x y x h y y x f y x f h y y y x h y y x hf y y (5分) h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，于是有 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012.1)101(1.012
2121y y (10分) h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，于是有 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488.1)227.11.01(1.0227.12
22
22y y (14分)
所求为y (0.1)≈y 1=1.227 y (0.2)≈y 2=1.528 (15分) 四、证明题(本题 10分) 15. 作均差表
因为三阶均差均为常数1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为3次，(7分) 且其系数为1. (10分)
(6分)。