4分
y( x n 1 ) y( x n ) y ( x n )h
5分
y n hfn
h 2 f n f n ( fn ) 2 x y

2 fn 2 f n 2 f n f n f n 2 h3 2 f n [ 2 2 fn f ( ) f h ] O(h 4 ) n 2 6 x xy x y y y
班
级
学
号
姓
名
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷 2010 —2011 学年第 数值分析 一 学期
总分
1--3
4--6
7--9
10--12
13-15
3 15 3 15 ， x2 5 5 5 5
9． （7 分）给定离散数据 xi yi －2 -1 -1 1 0 2 1 3
Gauss 点为： x1
4分
1 1 15 15 积分公式为： x 2 f ( x)dx [ f ( ) f( )] 1 3 5 5
6分
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 解 由于基函数为： 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 1分 3分 4分 12.(9 分)利用复化 Simpson 公式 S 2 计算定积分 I cos xdx 的近似值，并估计误
1
所以， xk 1 3 2 xk 3 , k 0,1,2,...对任意初值 x0 [1, 2] 都收敛。 3分
3 2 6.(6 分)设 xk 1 2xk axk bxk c, k 0,1,2,... 是求方程根 1 的迭代法，试
确定参数 a, b, c 使迭代法的收敛阶尽可能高，并指出阶是多少？ 5分 7分 解 由 1得1 2 a b c 令 (1) 6 2a b 0, (1) 12 2a 0 得 a 6, b 6, c 1 ， 此时，迭代法 3 阶收敛。 2分 5分 6分
2
n b 1 2 所以， Ak xk x 2 dx (b3 a 3 ) a 3 k 0
2分 4分 6分 7分
11.（6 分）对积分 x 2 f ( x)dx 建立两点 Gauss 公式。
1
1
则有： a b c 2,8a 4b 2c 1,3a 2b c 0 解得： a 1 / 2, c 7 / 2, b 1
1 1 7 所以， H 3 ( x) x( x 2 2 x 7) x 3 x 2 x 2 2 2
解
由于 P0 ( x) 1, P1 ( x) x
( P0 , x) P0 x ， ( P0 , P0 )
2分
P2 ( x) x 2
( P0 , x 2 ) (P , x 2 ) 3 P0 1 P1 x 2 ( P0 , P0 ) ( P1 , P1 ) 5
y n1 y n 2 f n f n h3 2 f ( f n ) ( 2n 2 fn f n ) O(h 4 ) 2 2 x y 2 x xy y
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6
10 ． （ 5 分）设求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk ) , (n 2) 是插值型求积公式，求
b a k 0
n
A x
k 0 k
n
2 k
. 由于插值型求积公式代数精度至少是 n， 2分 5分
解 8． （7 分）求满足条件 f (0) 0, f (1) 2, f (2) 1, f (1) 0 的三次插值多项 式 H 3 ( x) 的表达式。 解 令 H 3 ( x) x(ax bx c)
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
7． （6 分）设 f ( x) 3x 3 2x 5 ，求差商 f [0,1], f [1,2,3,4], f [1,2,3,4,5] 。 解 f[0,1]=(6-5)/1=1 f[1,2,3,4]=3 f[1,2,3,4,5]=0 2分 4分 6分
x1 x 2 2 x3 2 3.(6 分)解线性方程组 2 x1 3 x 2 3 x3 3 的 Gauss-Seidel 迭代法是否收敛，为 4 x 6 x 7 x 1 1 2 3
又由于 1 3 5 ( x) 3 2x 3 3 7 2 ，
(10 )
2/3
4分 8分
x
*

B
10
1 B
x (1) x ( 0)


211 0.034683059 310
5.(10 分)说明方程 x 3 2 x 3 0 在区间[1, 2]内有唯一根，并建立一个收敛的 迭代格式，使对任意初值 x0 [1, 2] 都收敛，说明收敛理由。 解 由 f (1) 4 0, f (2) 1 0, f ( x) 3x 2 2 0 ，知有唯一根。 3分 7分 9分
10 步的误差 x (10 ) x *

。
解
1/ 4 1/ 4 0 0 1 / 3 ,所以 B 2 / 3 , 由于 B 1 / 3 1/ 3 1/ 6 0

2分
又由于 x1 (1 / 4,2 / 3,1 / 2)T , 所以 x (1) x ( 0) 3分 所以， x 6分
y x sin xy 13．(5 分)求解初值问题 y(0) 2
为什么？ 解
0 x2
的改进 Euler 方法是否收敛？ 15.（5 分）证明矩阵谱半径 ( A) 不是矩阵范数。 2分 5分 证明
由于 f ( x, y) x sin xy 关于 y 满足 Lipschitz 条件，
2 2/3 1 3(2 x 3) 2 / 3
什么？
1 2 1 2 3 3 0 3 2 1 (3 2)(7 6) 解 令 0 2 4 6 7 0 0 7 6
得 (G) 6 / 7 1 , 所以，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
7分 9分
3
于是， y( xn1 ) yn1 O(h3 ) ，此差分公式是 2 阶的。
解得： a 5 / 2, b 5 / 6 ， 拟合曲线为: y
5 5 2 x 2 6
＝0.909622804
M 4 max f
( 4)
( x) max cos x 1
7分
I S 2 | R( f ) |
25 0.000694444 2880 2 4
2
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
所以，x 具有 4 位有效数字。
2 6 4 3 的 Crout 分解式 A TM . 2.(6 分)写出矩阵 A 3 6 2 1 5 2 2 6 4 2 3 3 3 3 3 解 由于 A 3 6 2 1 5 2 7 12 0 1 3 2 2 0 所以， A 3 3 0 0 1 3 2 7 12 0 0 1
课程名称：
(共 3 页）
4 x1 x 2 x3 1 0 (0) 4.(8 分)用 Jacobi 法解线性方程组 x1 3 x 2 x3 2 ，取 x 0 ，估计迭代 0 2 x x 6 x 3 2 3 1
1.(5 分)设近似值 x 12.25 近似 x * 的相对误差限为 0.00013， 问 x 具有几位有效数 字。 解 由于绝对误差限为:12.250.00013＝0.0015925<0.510-2 2分 5分
的差分公式：
h y n 1 y n 4 (3k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n 2h, y n 2hk1 ) y0
求此差分公式的阶。 解 由于 2分
2 f n f n 2 fn 2 fn 2 2 fn k 2 f n 2h( f n ) 2h ( 2 2 fn f n ) O(h 3 ) 2 x y xy x y
所以，改进 Euler 法收敛。
0 1 因为 ( A) 0 时，不一定有 A 0 , 例如 A 0 0 ,
2分 5分
所以， ( A) 不满足范数的非负性，不是范数。 14.（9 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
0 2
差。 解
1 1 3 I S 2 [cos 0 cos 2 2 cos 1 4 cos 4 cos ] 6 2 2
于是： 0 (1,1,1,1),1 (4,1,0,1), f (1,1,2,3)
3分 5分 6分 9分
4a 6b 5 正则方程组为： 6a 18b 0