2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____. 6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n-+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2CA B a b c+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+.（1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.20XX 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，则=+b a 1 ．2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则=++++963741a a a a a a 35-．3．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为6[0,6． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=A sin 7．7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp 的值为32． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则535251x x x ++的值为 －5 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ， 所以11)=． ------------------------------------------4分 令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nn n b b 4411=⋅=-.------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即 n n n a a ]1)14[(21--=+. ------------------------------------------12分 于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令θθsin cos +=x ，则]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分 于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．因此，m 的最小值为2423)2(-=f ． ------------------------------------------20分11．设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=，其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围．解 22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--．由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数225()()24a a g x x =--在区间]4,3[++a a 上单调递增.------------------------------------------5分（1）若10<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递减，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)992(log )3(2+-=+a a a f a ．在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≥+-9922，解得275+≥a 或275-≤a ． 结合10<<a 得10<<a ． ------------------------------------------10分（2）若231<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递增，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)16122(log )4(2+-=+a a a f a .在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ．易知2344113>-，所以不符合． ------------------------------------------15分综上可知：a 的取值范围为(0,1)． ------------------------------------------20分20XX 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。