10．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的二次三 项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法 .
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab
骣 1 3 2 ÷ ç 2 2 2 x 2 ÷ 例如：(x－1) ＋3，(x－2) ＋2x， ç ＋ x 是 x ÷ ç 桫 2 4 －2x＋4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数
解： ∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个
相等的实数根，
∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0， ∴b1＝2，b2＝－10(舍去)． 当a为腰长时，△ABC的周长为5＋5＋2＝12. 当b为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形．
∴△ABC的周长为12.
关系2
一元二次方程根与系数的关系
a＋b ＝2 017.
同类变式
3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一 根为－1，且 a = 4 - c + c - 4 - 2, 求 (a＋b )2018 的值． 2 017c
考点
2
一个解法—— 一元二次方程的解法
4．选择适当的方法解下列方程： (1) (x－1)2＋2x(x－1)＝0；
同类变式
选择适当的方法解下列方程： (1) 6 000(1－x)2＝4 860；
(2) (10＋x)(50－x)＝800；
(3) (2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
考点
关系1
3
两个关系
一元二次方程的根的判别与系数的关系
5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c. 其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－ b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
(2) x2－6x－6＝0；
解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0， (x－1)(x－1＋2x) ＝0， (x－1)(3x－1) ＝0， 1 ∴x1＝1，x2＝ . 3
(2) x2－6x－6＝0；
解：(2) x2－6x－6＝0，
x2－6x＝ 6，
x2－6x＋9＝ 15，
(x－3)2＝ 15， x－3＝± 15 ， ∴x1＝3＋ 15 ，x2＝3－ 15 .
所以当m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1 ＋2mx＋3＝
0是关于x的一元二次方程．
要准确理解一元二次方程的概念，需从次 数和系数两方面考虑．
概念1
一元二次方程的根
2．若一元二次方程ax2－bx－2 017＝0有一根为 2 017 ． x＝－1，则a＋b＝________
把x＝－1代入方程中得到a＋b －2 017＝0，即
6．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不等实根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1· x2，
求k的值．
解： (1)∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0. 3 解得k> . 4 (2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2k＋1)， x1· x2＝k2＋1.
习题课 第二十一章 一元二次方程
全章热门考点整合应用
一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一
元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次 方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一 元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题 的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章 热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关 系，两个应用，三种思想．
17 (2)配色条纹部分造价： ×5×4×200＝850(元)， 80 骣 17 ÷ 1其余部分造价： ç ×5×4×100＝1 575(元)． ÷ ç ÷ ç 桫 80 则总造价为850＋1 575＝2 425(元)．
所以地毯的总造价是2 425元．
应用2
配方的应用
9．阅读下面材料，完成填空．
考点
概念1
1
两个概念
一元二次方程的定义
1．当m取何值时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3 ＝0是关于x的一元二次方程？
ห้องสมุดไป่ตู้
解：当m2＋1＝2且m－1≠0时， 方程(m－1)xm2＋1 ＋2mx＋3＝0是关于x的一元二 次方程． 由m2＋1＝2，得m2＝1，所以m＝±1. 由m－1≠0，得m≠1，所以只能取m＝－1.
x2－5x＋6＝[x＋(______)][ x＋(______)] －2 －3 ；
x2－8x－9＝[x＋(______)][ x＋(______)] 1 －9 ． (2)请观察横线上所填的数，每道题所填的两个数 与一次项系数、常数项有什么关系？ 解： 这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项．
同类变式
我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋
3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式， 其过程如下： x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8 ＝(x＋3)2－1 ＝(x＋3＋1)(x＋3－1) ＝(x＋4)(x＋2)．
(1)请仿照上述过程，完成以下练习： 5 －1 x2＋4x－5＝[x＋(______)][ x＋(______)] ；
8．如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，为了美观，
设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，
已知配色条纹的宽度 相同，所占面积是整 17 . 个地毯面积的 80
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余
部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价． 解：(1)设配色条纹的宽度为x m，依题意得 17 2x×5＋2x×(4－2x)＝ ×5×4. 80 1 17 解得x1＝ (不符合题意，舍去)，x2＝ . 4 4 1 答：配色条纹的宽度为 m. 4
∵x1＋x2＝－x1· x2，
∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)． 解得k＝0或k＝2. 3 又∵k> , 4 ∴k＝2.
同类变式
7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2
＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时， x12＋x22有最小值？最小值是多少？
考点
应用1
4
两个应用
一元二次方程的应用
＋b2＝(a±b)2.
2
项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋2的三种不同形式的配方；
(2)已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，求a＋b＋c的值．