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【必考题】九年级数学下期末试题(带答案)

【必考题】九年级数学下期末试题(带答案)一、选择题1.如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为13,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为12,则C点坐标为()A.(6,4)B.(6,2)C.(4,4)D.(8,4)2.已知一个正多边形的内角是140°,则这个正多边形的边数是()A.9B.8C.7D.63.二次函数y=x2﹣6x+m满足以下条件:当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当8<x<9时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为()A.27B.9C.﹣7D.﹣164.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为()A.154B.14C.1515D.417175.如图,⊙O的半径为5,AB为弦,点C为»AB的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为()A.12B.5C.53D.536.如图,下列关于物体的主视图画法正确的是()A .B .C .D .7.如果,则a 的取值范围是( ) A . B . C . D .8.观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第9个图形中所有点的个数为( )A .61B .72C .73D .86 9.下列二次根式中的最简二次根式是( )A .30B .12C .8D .0.5 10.如图,直线//AB CD ,AG 平分BAE ∠,40EFC ∠=o ,则GAF ∠的度数为( )A .110oB .115oC .125oD .130o11.如图,已知////AB CD EF ,那么下列结论正确的是( )A .AD BC DF CE =B .BC DF CE AD = C .CD BC EF BE = D .CD AD EF AF= 12.某商品的标价为200元,8折销售仍赚40元,则商品进价为( )元.A .140B .120C .160D .100二、填空题13.如图:已知AB=10,点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2; P 是线段CD 上的动点,分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ,连结EF ,设EF 的中点为G ;当点P 从点C 运动到点D 时,则点G 移动路径的长是________.14.分解因式:x 3﹣4xy 2=_____.15.半径为2的圆中,60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.16.计算:2cos45°﹣(π+1)0+111()42-+=______. 17.分解因式:2x 2﹣18=_____.18.在一个不透明的口袋中,装有A ,B ,C ,D4个完全相同的小球,随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,两次摸到同一个小球的概率是___.19.在一次班级数学测试中,65分为及格分数线,全班的总平均分为66分,而所有成绩及格的学生的平均分为72分,所有成绩不及格的学生的平均分为58分,为了减少不及格的学生人数,老师给每位学生的成绩加上了5分,加分之后,所有成绩及格的学生的平均分变为75分,所有成绩不及格的学生的平均分变为59分,已知该班学生人数大于15人少于30人,该班共有_____位学生.20.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若EF=4,BC=10,CD=6,则tanC=________.三、解答题21.现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x 千克.(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y (元)与x (千克)之间的函数关系式;(2)小明选择哪家快递公司更省钱?22.4月18日,一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行,如图,广场上有一风筝A ,小江抓着风筝线的一端站在D 处,他从牵引端E 测得风筝A 的仰角为67°,同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC =30米)的居民楼顶B 处测得风筝A 的仰角是45°,已知小江与居民楼的距离CD =40米,牵引端距地面高度DE =1.5米,根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125,2≈1.414).23.解方程组:226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩24.如图,AB 是半圆O 的直径,AD 为弦,∠DBC=∠A .(1)求证:BC 是半圆O 的切线;(2)若OC ∥AD ,OC 交BD 于E ,BD=6,CE=4,求AD 的长.25.如图1,菱形ABCD 中,120ABC ∠=︒,P 是对角线BD 上的一点,点E 在AD 的延长线上,且PA PE =,PE 交CD 于F ,连接CE .(1)证明:ADP CDP △≌△;(2)判断CEP △的形状,并说明理由.(3)如图2,把菱形ABCD 改为正方形ABCD ,其他条件不变,直接..写出线段AP 与线段CE 的数量关系.26.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,O 为AB 上一点,经过点A ,D 的⊙O 分别交AB ,AC 于点E ,F ,连接OF 交AD 于点G .(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)设AB =x ,AF =y ,试用含x ,y 的代数式表示线段AD 的长;(3)若BE =8,sinB =513,求DG 的长,【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长,进而得出△OAD∽△OBG,进而得出AO的长,即可得出答案.【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为13,∴13 ADBG=,∵BG=12,∴AD=BC=4,∵AD∥BG,∴△OAD∽△OBG,∴13 OA OB=∴0A1 4OA3= +解得:OA=2,∴OB=6,∴C点坐标为:(6,4),故选A.【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质,正确得出AO的长是解题关键.2.A解析:A【解析】分析:根据多边形的内角和公式计算即可.详解:.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛:本题考查了多边形,熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.3.D解析:D【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x=3,根据抛物线的对称性得到x=−2和x=8时,函数值相等,然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为(−2,0),(8,0),最后把(−2,0)代入y=x2−6x+m可求得m的值.【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线x=,∴x=−2和x=8时,函数值相等,∵当−2<x<−1时,它的图象位于x轴的下方;当8<x<9时,它的图象位于x轴的上方,∴抛物线与x轴的交点坐标为(−2,0),(8,0),把(−2,0)代入y=x2−6x+m得4+12+m=0,解得m=−16.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.4.A解析:A【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,∴BC224115,则cos B=BCAB15,故选A5.D解析:D【解析】【分析】连接OC、OA,利用圆周角定理得出∠AOC=60°,再利用垂径定理得出AB即可.连接OC、OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°,∵AB为弦,点C为»AB的中点,∴OC⊥AB,在Rt△OAE中,AE=53,∴AB=53,故选D.【点睛】此题考查圆周角定理,关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°.6.C解析:C【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形,进而得出答案.【详解】主视图是从正面看这个几何体得到的正投影,空心圆柱从正面看是一个长方形,加两条虚竖线,画法正确的是:.故选C.【点睛】本题考查了三视图的知识,关键是找准主视图所看的方向.7.B解析:B【解析】试题分析:根据二次根式的性质1可知:,即故答案为B..考点:二次根式的性质.8.C【解析】【分析】设第n 个图形中有a n 个点(n 为正整数),观察图形,根据各图形中点的个数的变化可得出变化规律“a n =n 2+n+1(n 为正整数)”,再代入n =9即可求出结论.【详解】设第n 个图形中有a n 个点(n 为正整数),观察图形,可知:a 1=5=1×2+1+2,a 2=10=2×2+1+2+3,a 3=16=3×2+1+2+3+4,…, ∴a n =2n+1+2+3+…+(n+1)=n 2+n+1(n 为正整数),∴a 9=×92+×9+1=73. 故选C .【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,根据各图形中点的个数的变化找出变化规律“a n =n 2+n+1(n 为正整数)”是解题的关键.9.A解析:A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可.【详解】A 30B 12=23C 8=22,不是最简二次根式;D 20.5=2,不是最简二次根式; 故选:A .【点睛】此题考查最简二次根式的概念,解题关键在于掌握(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式. 10.A解析:A【解析】【分析】依据AB//CD ,EFC 40∠=o ,即可得到BAF 40∠=o ,BAE 140∠=o ,再根据AG 平分BAF ∠,可得BAG 70∠=o ,进而得出GAF 7040110∠=+=o o o .解:AB//CD Q ,EFC 40∠=o ,BAF 40∠∴=o ,BAE 140∠∴=o ,又AG Q 平分BAF ∠,BAG 70∠∴=o ,GAF 7040110∠∴=+=o o o ,故选:A .【点睛】本题考查的是平行线的性质和角平分线的定义,理解两直线平行,内错角相等是解题的关键.11.A解析:A【解析】【分析】已知AB ∥CD ∥EF ,根据平行线分线段成比例定理,对各项进行分析即可.【详解】∵AB ∥CD ∥EF , ∴AD BC DF CE=. 故选A .【点睛】 本题考查平行线分线段成比例定理,找准对应关系,避免错选其他答案.12.B解析:B【解析】【分析】设商品进价为x 元,则售价为每件0.8×200元,由利润=售价-进价建立方程求出其解即可.【详解】解:设商品的进价为x 元,售价为每件0.8×200元,由题意得 二、填空题13.3【解析】【分析】分别延长AEBF 交于点H 易证四边形EPFH 为平行四边形得出G 为PH 中点则G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN 再求出CD 的长运用中位线的性质求出MN 的长度即可【详解】如图分别延长A解析:3【解析】分别延长AE、BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形,得出G为PH中点,则G 的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.再求出CD的长,运用中位线的性质求出MN的长度即可.【详解】如图,分别延长AE、BF交于点H.∵∠A=∠FPB=60°,∴AH∥PF,∵∠B=∠EPA=60°,∴BH∥PE,∴四边形EPFH为平行四边形,∴EF与HP互相平分.∵G为EF的中点,∴G也正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.∵CD=10-2-2=6,∴MN=3,即G的移动路径长为3.故答案为:3.【点睛】本题考查了等腰三角形及中位线的性质,以及动点问题,是中考的热点.14.x(x+2y)(x﹣2y)【解析】分析:原式提取x再利用平方差公式分解即可详解:原式=x(x2-4y2)=x(x+2y)(x-2y)故答案为x(x+2y)(x-2y)点睛:此题考查了提公因式法与公式解析:x(x+2y)(x﹣2y)【解析】分析:原式提取x,再利用平方差公式分解即可.详解:原式=x(x2-4y2)=x(x+2y)(x-2y),故答案为x(x+2y)(x-2y)点睛:此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.15.【解析】根据弧长公式可得:=故答案为解析:2π3【解析】根据弧长公式可得:602180π⨯⨯=23π,故答案为23π.16.【解析】解:原式==故答案为:32.【解析】解:原式=12122-++3232.17.2(x+3)(x﹣3)【解析】【分析】原式提取2再利用平方差公式分解即可【详解】原式=2(x2﹣9)=2(x+3)(x﹣3)故答案为:2(x+3)(x﹣3)【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合解析:2(x+3)(x﹣3)【解析】【分析】原式提取2,再利用平方差公式分解即可.【详解】原式=2(x2﹣9)=2(x+3)(x﹣3),故答案为:2(x+3)(x﹣3)【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.18.【解析】【分析】【详解】试题分析:画树状图如下:∴P(两次摸到同一个小球)==故答案为考点:列表法与树状图法;概率公式解析:14.【解析】【分析】【详解】试题分析:画树状图如下:∴P(两次摸到同一个小球)=416=14.故答案为14.考点:列表法与树状图法;概率公式.19.28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人不及格人数为y人原来不及格加分为及格的人数为n人所以72x+58y=66(x+y)75(x+n)+59(y-n)=(66+5)(x+y)用n分别表示xy得到解析:28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人,不及格人数为y人,原来不及格加分为及格的人数为n人,所以,用n分别表示x、y得到x+y=n,然后利用15<n<30,n为正整数,n为整数可得到n=5,从而得到x+y的值.【详解】设加分前及格人数为x人,不及格人数为y人,原来不及格加分为为及格的人数为n人,根据题意得,解得,所以x+y=n,而15<n<30,n为正整数,n为整数,所以n=5,所以x+y=28,即该班共有28位学生.故答案为28.【点睛】本题考查了加权平均数:熟练掌握加权平均数的计算方法.构建方程组的模型是解题关键.20.【解析】【分析】连接BD 根据中位线的性质得出EFBD 且EF=BD 进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形求解即可【详解】连接BD 分别是ABAD 的中点EFBD 且EF=BD 又△BDC 是直角三角形 解析:43 【解析】 【分析】连接BD ,根据中位线的性质得出EF //BD ,且EF=12BD ,进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形,求解即可.【详解】连接BD ,E F Q 分别是AB 、AD 的中点∴EF //BD ,且EF=12BD 4EF =Q8BD ∴=又Q 8106BD BC CD ===,,∴△BDC 是直角三角形,且=90BDC ∠︒∴tanC=BD DC =86=43. 故答案为:43.三、解答题21.答案见解析【解析】试题分析:(1)根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y 甲关于x 的函数关系式,根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y 乙关于x 的函数关系式;(2)分0<x≤1和x >1两种情况讨论,分别令y 甲<y 乙、y 甲=y 乙和y 甲>y 乙,解关于x 的方程或不等式即可得出结论.试题解析:(1)由题意知:当0<x≤1时,y 甲=22x ;当1<x 时,y 甲=22+15(x ﹣1)=15x+7.y 乙=16x+3;∴22?(01){157?(1)x xyx x甲<<=+>,=163y x+乙;(2)①当0<x≤1时,令y甲<y乙,即22x<16x+3,解得:0<x<12;令y甲=y乙,即22x=16x+3,解得:x=12;令y甲>y乙,即22x>16x+3,解得:12<x≤1.②x>1时,令y甲<y乙,即15x+7<16x+3,解得:x>4;令y甲=y乙,即15x+7=16x+3,解得:x=4;令y甲>y乙,即15x+7>16x+3,解得:0<x<4.综上可知:当12<x<4时,选乙快递公司省钱;当x=4或x=12时,选甲、乙两家快递公司快递费一样多;当0<x<12或x>4时,选甲快递公司省钱.考点:一次函数的应用;分段函数;方案型.22.风筝距地面的高度49.9m.【解析】【分析】作AM⊥CD于M,作BF⊥AM于F,EH⊥AM于H.设AF=BF=x,则CM=BF=x,DM=HE=40-x,AH=x+30-1.5=x+28.5,在Rt△AHE中,利用∠AEH的正切列方程求解即可.【详解】如图,作AM⊥CD于M,作BF⊥AM于F,EH⊥AM于H.∵∠ABF=45°,∠AFB=90°,∴AF=BF,设AF=BF=x,则CM=BF=x,DM=HE=40-x,AH=x+30-1.5=x+28.5,在Rt△AHE中,tan67°=AH HE,∴1228.5 540xx+=-,解得x≈19.9 m.∴AM=19.9+30=49.9 m.∴风筝距地面的高度49.9 m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.23.114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程,然后联立①,组成两个二元一次方程组,解之即可.【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解,得20x y -=或0x y -=. 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组,将高次方程化为一次方程是解题的关键.24.(1)见解析;(2)AD=4.5.【解析】【分析】(1)若证明BC 是半圆O 的切线,利用切线的判定定理:即证明AB ⊥BC 即可;(2)因为OC ∥AD ,可得∠BEC=∠D=90°,再有其他条件可判定△BCE ∽△BAD ,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等即可求出AD 的长.【详解】(1)证明:∵AB 是半圆O 的直径,∴BD ⊥AD ,∴∠DBA+∠A=90°,∵∠DBC=∠A ,∴∠DBA+∠DBC=90°即AB ⊥BC ,∴BC 是半圆O 的切线;(2)解:∵OC ∥AD ,∴∠BEC=∠D=90°,∵BD ⊥AD ,BD=6,∴BE=DE=3,∵∠DBC=∠A ,∴△BCE ∽△BAD ,∴=CE BE BD AD ,即436=AD; ∴AD=4.5【点睛】 本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了相似三角形的判定和性质.25.(1)证明见解析;(2)CEP ∆是等边三角形,理由见解析;(3)CE =. 【解析】【分析】(1)由菱形ABCD 性质可知,AD CD =,ADP CDP ∠=∠,即可证明;(2)由△PDA ≌△PDC ,推出PA=PC ,由PA=PE ,推出DCP DEP ∠=∠,可知60CPF EDF ∠=∠=︒,由PA═PE=PC ,即可证明△PEC 是等边三角形;(3)由△PDA ≌△PDC ,推出PA=PC ,∠3=∠1,由PA=PE ,推出∠2=∠3,推出∠1=∠2,由∠EDF=90°,∠DFE=∠PFC ,推出∠FPC=EDF=90°,推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答;【详解】(1)证明:在菱形ABCD 中,AD CD =,ADP CDP ∠=∠,在ADP ∆和CDP ∆AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.(2)CEP ∆是等边三角形,由(1)知,ADP CDP ∆≅∆,∴DAP DCP ∠=∠,AP CP =,∵PA PE =,∴DAP DEP ∠=∠,∴DCP DEP ∠=∠,∵CFP EFD ∠=∠(对顶角相等),∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠,即60CPF EDF ∠=∠=︒,又∵PA PE =,AP CP =;∴PE PC =,∴CEP ∆是等边三角形.(3)CE =.过程如下:证明:如图1中,∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=DC ,∠ADB=∠CDB=45°,∠ADC=90°,在△PDA 和△PDC 中,PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,,∴△PDA ≌△PDC ,∴PA=PC ,∠3=∠1,∵PA=PE ,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∵∠EDF=90°,∠DFE=∠PFC ,∴∠FPC=EDF=90°,∴△PEC 是等腰直角三角形.∴2PC 2AP .【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.26.(1)证明见解析;xy 3013 【解析】【分析】(1)连接OD ,由AD 为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量代换得到内错角相等,进而得到OD 与AC 平行,得到OD 与BC 垂直,即可得证; (2)连接DF ,由(1)得到BC 为圆O 的切线,由弦切角等于夹弧所对的圆周角,进而得到三角形ABD 与三角形ADF 相似,由相似得比例,即可表示出AD ;(3)连接EF ,设圆的半径为r ,由sinB 的值,利用锐角三角函数定义求出r 的值,由直径所对的圆周角为直角,得到EF 与BC 平行,得到sin ∠AEF=sinB ,进而求出DG 的长即可.【详解】(1)如图,连接OD ,∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD ,∵OA=OD ,∴∠ODA=∠OAD ,∴∠ODA=∠CAD ,∴OD ∥AC ,∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD ⊥BC ,∴BC 为圆O 的切线;(2)连接DF ,由(1)知BC 为圆O 的切线,∴∠FDC=∠DAF ,∴∠CDA=∠CFD ,∴∠AFD=∠ADB ,∵∠BAD=∠DAF ,∴△ABD ∽△ADF , ∴AB AD AD AF=,即AD 2=AB•AF=xy ,则;(3)连接EF ,在Rt △BOD 中,sinB=513OD OB =, 设圆的半径为r ,可得5813r r =+, 解得:r=5,∴AE=10,AB=18,∵AE 是直径,∴∠AFE=∠C=90°,∴EF ∥BC ,∴∠AEF=∠B ,∴sin ∠AEF=513AF AE =, ∴AF=AE•sin ∠AEF=10×513=5013, ∵AF ∥OD , ∴501013513AG AF DG OD ===,即DG=1323AD ,∴AD=503013·1813AB AF=⨯=,则DG=133033013 231323⨯=.【点睛】圆的综合题,涉及的知识有:切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,勾股定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.。

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