第一讲 函数的概念及三要素1．函数与映射函数映射两个集合A ，B设A ，B 是两个非空数集设A ，B 是两个非空集合对应法则f ：A→B如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应名称 称y ＝f (x )，x ∈A 为从集合A 到集合B 的一个函数称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 函数y ＝f (x )，x ∈A映射：f ：A →B2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考向一 函数、映射的判断【例1】（1）若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下（2）集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x【答案】（1）B （2）C【解析】（1）A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. （2）依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．【举一反三】1．下列从集合M 到集合N 的对应关系中，其中y 是x 的函数的是 A ．M ={x|x ∈Z},N ={y|y ∈Z}，对应关系f:x →y ,其中y =x2B ．M ={x|x >0,x ∈R},N ={y|y ∈R}，对应关系f:x →y ,其中y =±2xC ．M ={x|x ∈R},N ={y|y ∈R},对应关系f:x →y ,其中y =x 2D ．M ={x|x ∈R},N ={y|y ∈R}，对应关系f:x →y ,其中y =2x 【答案】C【解析】对于A ，M 中的奇数在N 中无元素与之对应y 不是x 的函数； 对于B ,M 中每个元素在N 中都有两个不同元素对之对应，y 不是x 的函数； 对于C ,M 中每个元素在N 中都有唯一元素与之对应，y 是x 的函数； 对于D ,M 中x =0在N 中没有元素对应，y 不是x 的函数，故选C.【数学套路】1. 是否为函数关系的判断（1）两个非空数集，即函数的定义域和值域是否为空，函数的定义域和值域不能为空 （2）看是否满足一个x 只能对应的y,或者多个x 对应一个y ，即为函数。

注意：函数为特殊的映射 2.映射（1）两个非空集合。

（2）看是否满足一个x 只能对应的y,或者多个x 对应一个y ，即为函数。

2．下图中，能表示函数y =f(x)的图象的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据题意，对于A 、B 两图，可以找到一个x 与两个y 对应的情形； 对于C 图，当x=0时，有两个y 值对应；对于D 图，每个x 都有唯一的y 值对应．因此，D 图可以表示函数y=f （x ），故选：D ．考向二 函数定义域求法类型一：已知解析式求定义域 【例2-1】（1）函数y =√3−xlgx的定义域是 。

（2）函数y =lg (2−x )√12+x−x 2+(x −1)0的定义域是 。

【答案】（1）(0,1)∪(1,3] （2）{x| −3<x <2且x≠1}【解析】（1）由题意得，{3−x ≥0x >0lgx ≠0 ，解得0<x <1或1<x ≤3.即函数定义域是(0,1)∪(1,3]（2）要使函数函数y =lg (2−x )√12+x−x 2+(x −1)0有意义，则有{2−x >012+x −x 2>0x −1≠0 ，得{x <2−3<x <4x ≠1 ⇒−3<x <2且x ≠1，函数y =lg (2−x )√12+x−x 2+(x −1)0的定义域是{x| −3<x <2且x≠1}【举一反三】1．函数()()234lg 1x x f x x --+=+的定义域为 。

【答案】()(]1,00,1-⋃【解析】 由题意，函数()()234lg 1x x f x x --+=+满足2340{10 11x x x x --+≥+>+≠ ，解得11x -<≤且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()(]1,00,1-⋃.2．函数f (x )=√2−x +log 2x 的定义域是 。

【答案】(0,2]【解析】由函数f (x )=√2−x +log 2x 的解析式，可得{2−x ≥0x >0，解不等式可得，函数f (x )=√2−x +log 2x 的定义域是(0,2].3．函数f(x)=lg(4x −2)的定义域为_____________.【套路总结】一．已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。

1. 分式：分母不为02. 根式：开偶次方根，被开方数大于等于03. 对数：对数的真数大于0，底数大于0且不等于14. 指数：指数的底数大于0且不等于15.00:1,0x x x =≠ 6. 正切：()2x k k z ππ≠+∈7. 无以上情况定义域为R 二．求函数定义域的注意点1.不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．2.当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符【答案】(12,+∞)【解析】由题得4x −2>0,所以22x >2,∴2x >1,∴x >12.所以函数的定义域为(12,+∞)，故答案为：(12,+∞) 类型二 求无解析式的定义域【例2】（1）若函数f (x )的定义域是[－1,3]，则函数f (2x －1)的定义域是________ （2）已知函数f （2x +1）的定义域为（﹣2，0），则f （x ）的定义域为（ ） （3）已知函数f(x +3)的定义域为[−5,−2]，则函数f(2x −1)的定义域为______ （4）函数的定义域为 。

【答案】（1）[0,2] （2）（﹣3，1） （3）[−12,1] （4）【解析】（1）由题意函数f (x )的定义域为[−1,3]，则对于函数f (2x −1)中，令−1≤2x −1≤3， 解得0≤x ≤2，即函数f (2x −1)的定义域为[0,2].（2）∵f （2x +1）的定义域为（﹣2，0），即﹣2＜x ＜0，∴﹣3＜2x +1＜1． 即f （x ）的定义域为（﹣3，1）．（3）函数f(x +3)的定义域为[−5,−2]，∴−5≤x ≤−2，∴−2≤x +3≤1， ∴f(x)的定义域为[−2,1]；令−2≤2x −1≤1，解得−12≤x ≤1，∴函数f(2x −1)的定义域为[−12,1]．故答案为：[−12,1]． （4）由2sin x ﹣2≥0得sin x ≥22，解得2k π+4π≤x ≤2k π+34π，k ∈Z【举一反三】1．函数f (x )的定义域是[−1,1]，则函数f(log 12x)的定义域为_________．【答案】[12,2]【解析】由题得-1≤log 12x ≤1，所以log 122≤log 12xlog 1212,∴12≤x ≤2.所以函数的定义域为[12,2].故答案为：【套路总结】未知解析式函数的定义域求解：一般遵循对应法则不变，括号内同范围1.若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；2.若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．[12,2]2．已知函数f(x)的定义域为[−2,2]，函数g(x)=f(x−1)√2x+1，则g(x)的定义域为_________【答案】(−12,3]【解析】由题意得{−2≤x −1≤22x +1>0∴−12<x ≤3，即定义域为(−12,3]. 3.若函数f (x +1)的定义域是[−1,1]，则函数f (log 12x)的定义域为________．【答案】[14,1]【解析】∵f (x +1)的定义域是[−1,1]∴f (x )的定义域是[0，2]则f (log 12x)的定义域为0≤log 12x ≤2∴14≤x ≤1故答案为[14,1]4.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数()2134f x y x x +=--+的定义域是__________．【答案】(-1,1)【解析】由题意210{340x x x +>--+>，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．类型三 利用定义域求参数【例3】（1）若函数f (x )=lg (1+kx −kx 2)的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．−4<k <0 B ．−4<k ≤0 C ．k <−4或k >0 D ．k <−4或k ≥0 （2）已知函数()()2211f x x a x =---（其中0a >，且1a ≠）在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，则函数()1log 1a g x x =-的定义域为（ ）A ．(),a -∞B ．()0,aC ．(]0,a D ．(),a +∞ 【答案】（1） B （2）B【解析】（1）因为函数f (x )=lg (1+kx −kx 2)的定义域为R ，所以1+kx −kx 2>0恒成立， 因为k =0,1>0成立，所以k =0,若k ≠0，则由k 2+4k <0得−4<k <0，−4<k ≤0，选B. （2）因为函数()()2211f x x a x =---（其中0a >，且1a ≠）在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以2110,10 1.22a a a a -≤>≠∴<< 令log 100,a x x a ->∴<< 选B.【举一反三】 1.若函数()21x f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】04a ≤<【解析】210ax ax ++> 对于x R ∈ 恒成立，当0a = 时， 10> 恒成立；当0a ≠ 时，20{0440a a a a >⇒<<∆=->，综上04a ≤< .2.若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 【答案】 －92【解析】函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集． 不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.考向三 函数的解析式求法【例3】（1）已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．（2）已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．（3）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．（4）已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1，求f (x )．（5）.已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x)。