函数的概念、表示法与定义域一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念：二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法： ④赋值法： （2）函数定义域的求法：①)()(x g x f y =，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0)]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则{()00()1()1g x f x f x ><<>或；⑤含参问题的定义域要分类讨论；⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。

（4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。

三.练习题:1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，42{4,7,,3}N n n n =+，*,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为(B)A ．2B ．3C ．4D ．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ．（1）*,P Z Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2,,y x x P y Q =∈∈；（3）{P =三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．”3.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个4.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（B ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4]U D ．(0,1) 5.下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y ==6.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ A ）A ．1516B ．2716-C ．89D ．187.（1）函数lg 3y x =-的定义域.答：[0,2)(2,3)(3,4)U U )；（2）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭)； （3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是(答：[,]a a -)； （4）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{}42|≤≤x x ）；（5）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． 8．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+；（2）y =；（3）312x y x +=-； 解：（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞。

改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域。

解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26。

∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]。

（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y 。

又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]。

（3）（法一）反函数法： 312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠。

（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠。

9.（1）已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。

(5)已知函数y=x 2+x 与y=g （x ）关于点（-2，3）对称，求g （x ）的解析式 解：（1）∵222111()()2f x x x xx x+=+=+-， ∴2()2f x x =-（2x ≥或2x ≤-）。

（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-。

（3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =， ∴()27f x x =+。

（4）12()()3f x f x x+= ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x=-，∴1()2f x x x=-。

10. （1）设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围是__________（答：(,2][0,10]-∞-U ）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3(,]2-∞）11.（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=（2）设函数f （x ）＝⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),1(,log ]1,(,281x x x ，则满足f （x ）=41的x 值为 。

解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，)))101((())))104(((()))99((())94(()89(f f f f f f f f f f f f f =====)99())102(()97())100(()))103((())98((f f f f f f f f f f f ===== =.98)101())104((==f f f（2）当x ∈（－∞，1]，值域应为［21，＋∞］， 当x ∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）， ∴y ＝41，y ∈（0，＋∞）， ∴此时x ∈（1，＋∞），∴log 81x ＝41，x ＝8141＝3。

12. 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ，点()0,a P 都满足a PQ ≥，则a 的取值围BA ．()0,∞-B ．(]2,∞-C ．[]2,0D ．()2,0巩固练习: 13.函数f(x)=xx -132 +lg(3x+1)的定义域是 （ C ）A.（-∞,-31）B.（-31,31） C.（-31，1）D.（-31,+∞）14.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R ),f(1)=2,则f(-3)等于（C ） A.2 B.3 C.6 D.915.已知函数ϕ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16, ϕ(1)=8,则ϕ(x)= 3x+x5 16.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________[]3,1-.____.本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 17 .对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是__1_______ .18.若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的 为 2 。

19.（1）设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);（2）函数f(x) (x ∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解 （1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),即f(0)=f(x)-x 2-x,而f(0)=1,∴f(x)=x 2+x+1. （2）以-x 代x,依题意有2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ① 2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ②两式联立消去f(-x)得 3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),∴f(x)=31lg(1+x-x 2-x 3)(-1＜x ＜1).20.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x. （1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x,y),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,02,020y y xx 即⎩⎨⎧-=-=.,00y y x x∵点Q （x 0,y 0）在函数y=f(x)的图象上∴-y=x 2-2x,即y=-x 2+2x,故g(x)=-x 2+2x.(2)由g(x)≥|1|)(--x x f 可得：2x 2-|x-1|≤0.当x ≥1时，2x 2-x+1≤0,此时不等式无解.当x ＜1时，2x 2+x-1≤0,∴-1≤x ≤.21因此，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1.21.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图）， 则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程142222=+r y r x (y ≥0), 解得y=222x r -(0＜x ＜r).S=21(2x+2r)·222x r - =2(x+r)·22x r -,其定义域为{x|0＜x ＜r}.（2）记f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0＜x ＜r,则)(x f '=8(x+r)2(r-2x). 令)(x f '=0,得x=21r.因为当0＜x ＜2r 时，)(x f '＞0; 当2r ＜x ＜r 时, )(x f '＜0，所以f （21r ）是f(x)的最大值. 因此，当x=21r 时，S 也取得最大值，最大值为2233)21(r r f =. 即梯形面积S 的最大值为.2332r 22.已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x ∈R ).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域. 解 (1）∵函数的值域为［0，+∞),∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x ∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a ≤23,∴a+3＞0, ∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1).∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f （a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419. 23.已知二次函数f(x ）的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x 的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值围.解 （1）∵f （x ）+2x ＞0的解集为（1，3）， 则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a ＜0,因而有f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a, ①由方程f(x)+6a=0,得ax 2-(2+4a)x+9a=0,②因为方程②有两个相等的根，∴Δ=［-（2+4a ）］2-4a ·9a=0，即5a 2-4a-1=0,解得a=1或a=-51. 由于a ＜0,舍去a=1.将a=-51代入①式，得f(x)的解析式为 f(x)=-51x 2-56x-53. （2）由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a aa a a a x 14)21(22++-+-, 及a ＜0，可得f(x)的最大值为-,142a a a ++由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得a ＜-2-3或-2+3＜a ＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值围是 (-∞,-2-3)∪(-2+3,0).。