次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳9元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况设方程ax 2+bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1< X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2+bx + c = 0，方程的根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 )两个正根即两根都大于 0(为 >0,X 2 A O )一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 )大致图象（> a得出的结论A >0 f (0 )>0 A >0存0f (0 )>0f (0)v 0O大致图象（Va得出的结论△ >0A >0舌。

l f (0)<0占。

”（0）<0f (0)A 0综合结论（不讨论ao <b a 计(0)< 0表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即( >0) yJ\ // ■k Ka得出的结论o>A -两根都大于k 即X i A k, X 2 A k o>A -一个根小于k ，一个大于k 即x , < k < X 2y lI\ k 八J “f (k )v 0o大致图象（< a得出的结论O> A -I A>0 t^>k 2a f (k )<0f (k )>0综合结论（不讨论a△ >0」<k2aa 计(k )A 0A >0 -^>k 2a a 计(k )A 0表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在（m, n ）内两根有且仅有一根在（m, n ）内（图象有两种情况，只画了一种）一根在（m,n）内，另一根在（p,q）内，mcncpcq一ny y-得出的结论△ >0f (m )A0f (n )>0bm < ----- < n2af (m ”f (n )<f (m )〉0r(n F0或f f(m)f( n)*0I f ( P )v0 [f ( p )f (q)<0[f(q)>0得出的结论也>0f (m )v Of (n )<0bm < -—< n2af (m )卄(n )<0f (m)v0f (n )>0 f f(m)f (n )<0 或<|f (P)>0 j fp )f(q)<0[f(q)<0综合结论（不讨论af (m )”f(n )< 0[f (m )f (n )v[f{p)f(q )v O 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间（m,n ）外，即在区间两侧Xi<m,X2A n ,（图形分别如下）需满足的条件是(2) a[f (n)A O对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在(m, n 内有以下特殊情况:1°若f(m)=0或f(n) = 0,则此时f(m|J f(n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m, n )内，从而可以求出参数的值。

如方程mx2-(m + 2)x+2 = 0在区22 2 2间(1,3 )上有一根，因为f (1 ) = 0,所以mx —(m+2 )x+2 = (x — 1 X mx-2)，另一根为一，由1 <3 得一c m c 2mm3即为所求;2°方程有且只有一根，且这个根在区间(m, n )内，即A =0，此时由^ =0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程 2X —4mx+2m+6=0有且一根在区间(—3,0 )内，求m的取值范围。

分析：①由f(—31L f(0)<0即(14m + 15)(m + 3)<0得出-3c m<—15143②由i =0即16m2-4(2m+6) = 0得出m = —1 或m = ?，当m = —1 时，根x = -2忘(―3,0 )，即m = -1满足题意;3 3当m =—时，根X =3疋(-3,0 )，故m=—不满足题意；综上分析，得出2 215-3 < m 一或m = -114根的分布练习题例1、已知二次方程(2m+1 )x2—2mx + (m -1) = 0有一正根和一负根,求实数m的取值范围。

A解：由(2m+1 U f (0 )v0即(2m+ U m—)< 0从而得一丄c m C即为所求的范围。

2例2、已知方程2x2-( m中1)x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。

解：由_ 2 _ _ _y =(m +2)x —(2m +4)x +(3m +3肯x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于1,求实数mA >0 I 一f m +1C —f (0 )>02f m +1)-8mA0,l m c 3-272 或 m>3 + 2j 2m »—1 = Z=im 》。

m A OL0 <m <3-2yf 2或m >3+2j 2即为所求的范围。

的取值范围。

1解：由(m +2L f (1)v 0 即(m +2 M 2m +1 )v 0 = —Z c m v?即为所求的范围。

例4、已知二次方程 mx2+(2m-3)x +4=0只有一个正根且这个根小于 1，求实数m 的取值范围。

解:由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则f (0廿(1 )<0 1二心3m + Hv O - —3即为所求范围。

(注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内，由△ =0计算检验，均不复合题意，计算量稍大) a 的取值范围： 方程X 2-ax +a 2-7 =0的两个根一个大于 2，另一个小于2； 方程 7x 2—(a +13)x +a 2-a -2 =0的一个根在区间(0,1) 上, 方程x 2+ax + 2=0的两根都小于0； 变题：方程x 2+ax + 2=0的两根都小于-1.方程 x 2—(a +4)x -2a 2+5a +3=0 的两根都在区间［一1,3］ 上; 方程X 2—ax +4=0在区间(=,1) 上有且只有一解；x 2-mx+4=0在区间［7 , 1］上有解，求实数 m 的取值范围. f(X)= mx 2+(m — 3)x +1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的取值范围.例1、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数(1) (2) (3) 另一根在区间(1,2)上; (4) (5)例2、已知方程 例3、已知函数检测反馈：21f(x) =x 2-(a-1)x +5在区间(—1)上是增函数，则f(2)的取值范围是 _____________22•若a 、P 是关于x 的方程X 2—2kx +k +6 = 0的两个实根，贝U (a —1)2+(P —1)2的最小值为 3. 若关于X 的方程X 2+(m —2)x +2m —1=0只有一根在(0,1)内，则m €_ _________________24. 对于关于X 的方程x+(2m -1)x+4 -2m=0求满足下列条件的 m 的取值范围： (2)两个根都小于-1 (4)两个根都在(0 , 2)内(6) 一个根小于2, —个根大于1.若二次函数有两个负根 一个根大于2，一个根小于2一个根在(-2, 0)内，另一个根在(1 , 3)内 在(0,2)内有根 一个正根，一个负根且正根绝对值较大- … - 2 . ...................................... …(1)(3) (5)(7) (8) 5.已知函数f(x) =mx 2+x —1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

2、二次函数在闭区间m,n 】上的最大、最小值问题探讨设f (X )=ax 2+bx + c =0 (a >0 ),则二次函数在闭区间 b, n 】上的最大、最小值有如下的分布情况:例3、已知二次函数时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。

次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 各代表一种情况。

例1、函数f (X )=ax 2-2ax +2+b (a H 0 )在9,3】上有最大值5和最小值2,求a, b 的值。

解：对称轴x, =1芒2,3］，故函数f (X 莊区间［2,3］上单调。

(1)当a 》。

时，函数f(x )在区间2,3 ］上是增函数，故!f (xmax = f (3) 一 r3a + b + 2=5 一 [2 = 1 fx h n =f(2) f I 2 + b = 2 f [b = 0『(Xhax - f (2) - [ b + 2=5[f g in =f (3) r Qa + b + 2 = 2例2、求函数f (x )=x 2-2ax+1,x 亡1,3 ］的最小值。

解：对称轴x 0 =a改：1.本题若修改为求函数的最大值，过程又如何?解：(1)当 av2 时，f (x )m a x = f (3)=10-6a ；(2)当 a >2时，f (x h x = f (1)= 2-2a 。

2•本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行?(2)若一一电 m, n ］,则 f (X h ax = max{f (m ) f (n 〃, f (x h n = min {f (m ) f (n 》 2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下(1)当 a c l 时，y mi n = f (1 ) = 2-2a(2)当 1 <a<3时, 2ymin= f (a ) = 1~a ；( 3)当 a 〉3时，ymin=f (3)=10-6a(2)当acO 时，函数f(x )在区间2,3 ］上是减函数，故 !a =—1 [b = 3当 a d 时,f (X h ax = f (3)/0-6a , f (x )min = f ⑴二2-2a；当 1兰 a<2时，f (x max = f (3) =10-6a ，f (x 馬=f (a )/—a 2； 当2兰*<3时，f ah ax ^WH-Za ，f (X )min = f (a ^-a 2；当 ak3时，f (x max =f (1) = 2-2a ，f (x = f (3 ) = 10-6a 。