的递推
例2：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
(n+2)(n-1) =1+ 2 n 3 1 n 1 练： 已知 an 中, a1 1, an 3 an1 ( n 2)证明：an 2
二、迭加法（又叫累加法，逐加法）
例3，求数列：1，3，6，10，15，21，…… 的通项公式 {an } 解： a2 a1 2 ∴两边相加得： a3 a2 3
11,2,3,4, 3 1,1,1,1,
1 1 1 51, , , , 2 3 4
21,1,1,1, 41,2,3,4,
1 1 1 61, , , , 2 3 4
72,0,2,0, 89,99,999,9999, 1 n 1 nn 11 1 nn 4 a 5 a 1 a n 7 a 1 1 3 a 1 1 n 6 a 1 2 a 1 8 10 1 n n n n n n n n
99 10 1
2
999 10 1
3
9999 10 1
4
an 10 1
n
类型二、前n项和法 已知前n项和，求通项公式
( n 1) S1 an Sn Sn1 ( n 2)
例 2： 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1,
求﹛an﹜的通项公式.
a a 4
4 3
a5 a4 ∴ 5
an an1 n
……
an a1 2 3 4 n
1 an n(n 1) 2
1 例二、已知数列 {an }满足a1 1, an1 an , n(n 1) 求通项公式an .
1 ln(1 ), 则an等 【典例3】(1)在数列{a }中,a =2,a n 1 n+1=an+ n A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn
等差数列前n项和公式的应用 变式：已知数列﹛an﹜的前n项和公 式为sn=2n2-30n+1
这个数列还是等差数列吗？求 出它的通项公式；
思考？ 如果一个数列的前n项和的公式是 sn=an2+bn+c(a,b,c为常数），那么这 个数列一定是等差数列吗？ 结论：当c=0时这个数列是等差
数列
• 类型2 .已知数列的前n项和,即sn与n的关系, 求数列的通项公式. • 例1.已知数列的前n项和sn=3n–2 , 求它的通 项公式? • 分析:大家首先需要理解数列的前n项的和 与前 n–1项的和. sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
2 2
2n 1
(n 2)
【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求 它们的通项公式an. (1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1.
【解析】(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.
解：变形为：101－1，102―1，103―1， 104―1，…… n ∴通项公式为：an 10 1
例2，求数列3，5，9，17， 1 2 3 33 ， …… 解：变形为：2 +1，2 +1，2 +1， 24+1，25+1，…… n ∴通项公式为： an 2 1
可见联想与转化是由已知认识未知的两 种有效的思维方法。
an n
an 2n 1
• (3) 3 ,5 ,7 ,9 ,…
• (4) 2 ,4 ,6 ,8 ,…
an 2n 1
an 2n
• (5) 1 ,4 ,9 ,16 ,…
• (6) 2 ,4 ,8 ,16 ,…
an n
2
an 2
n
(7) –1 ,1 , –1 ,1 ,…
(8) 1 , –1 ,1 , –1 ,…
【规范解答】(1)选A.a8=S8-S7=64-49=15. (2)选B．方法一：因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以 项，
3 q :因为S =2a , 方法二 n n+1 2
所以Sn-1=2an(n≥2),
Sn 1 3 ， 为公比的等比数列，所以 Sn 2
当n=1时,4×1+1=5=a1, 所以an=4n+1. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1. 当n=1时,2×31-1=2≠a1,
所以an=
4，n 1， n 1 2 3 ，n 2，n N*.
所以数列{Sn}是以S1=a1=1为首 故选B．
3 n 1 Sn ( ) ， 2
两式相减得:an=2an+1-2an,
所以 a n 1
3 . an 2
已知数列{an},an
∈N*,S
n=
an+2)2. (1)求证:{an}是等差数列. (2)设bn=
(
an-30,求数列{bn}的前n项和Tn 的最小值.
an (1)
n
an=(–1)n–1或(–1)n–1
(9) 等差数列的通项公式
an=a1+(n–1)d
(10)等比数列的通项公式 an=a1qn–1
一、观察法（又叫猜想法，不完全 归纳法）：观察数列中各项与其序 号间的关系，分解各项中的变化部 分与不变部分，再探索各项中变化 部分与序号间的关系，从而归纳出 构成规律写出通项公式 例1：数列9，99，999，9999，……
考点2
an与Sn关系式的应用 )
【典例2】(1)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(
A.15
B.16
C.49
D.64
)
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(
A.2
n 1
3 n 1 B.( ) 2
2 n 1 C.( ) 3
1 D. n 1 2
【规范解答】(1)选A.由已知,an+1-an=ln n 1 ,a1=2,
n 所以an-an-1=ln (n≥2), n 1 an-1-an-2=ln n 1 , n2
…
a2-a1=ln
n
2 , 1
将以上n-1个式子叠加，得
n n 1 2 a n a1 ln ln ln n 1 n2 1 n n 1 2 ln( ) =ln n n. 1 n 2 1
当n 2时，an Sn Sn1 3 3
n n1
B

an 1 2 3 3, 是一个与n无关的常数 n 1 an 23
n
n 1满足上式， an
23
n 1
n N .

23 .
n 1
an 一定是等比数列
例7．已知下列两数列 {an } 的前n项和sn的 公式，求 {an } 的通项公式。 2 2 sn 2n 3n （2） （1） sn n 1 n2 时 解： （1） s 1 ，当
1 2 3 4 (4) 1 ,2 ,3 ,4 ,... 2 3 4 5
n an 2
2
n an n n 1源自• (5) _1 ,7 ,_13 ,19 ,…
n
1,7,13,19,...
an (1) (6n 5)
(6) 9 , 99 ,999 ,9999 ,…
9 10 1
1
n n
• 总结: (1)掌握基本数列的通项公式. • (2)分数形式的数列,保持分数线,分子分母 分别找通项. • (3)当数列中有分数,又有整数时,需要把整 数化成分数,即将分母补齐,然后分子分母 分别找通项. • (4)数列中的项正负交叉出现时,常用 (1)n+1或(-1)n-1来调解.当数列中的项是负正 出现时,常用(-1)n来调解. • (5)有的数列虽然有通项公式,但通项公式 不唯一. • (6)并不是所有的数列都有通项公式
数列通项公式的常见求法
类型1.已知数列的前几项,求数列的通项公式 • (1) 3 , 5 , 9 ,17 , … a 2n 1
n
• (2)
2 4 6 8 , , , ,... 3 15 35 63
2n an (2n 1)(2n 1)
1 9 25 ,2, ,8, ,... • (3) 2 2 2
23
1
n 1
n 1 n2
• 练习：已知数列的前n项和sn=2n_1 • 求数列的通项公式
练习：已知数列an 的前n项和Sn 3n 1, 那么an
A 一定是等差数列 B 一定是等比数列 C 既是等差数列，又是等比数列 D既不是等差数列，也不是等比数列 解：当n=1时，a1 S1 2,
等差数列前n项和公式的应用 例2：已知数列﹛an﹜的前n项和公 式为sn=2n2-30n:
这个数列是等差数列吗？求出它 的通项公式；
解：将n-1带入数列的前n项和公式，得 Sn-1=2(n-1)2-30(n-1). 因此 an=sn-sn-1=4n-32(n≥2) 当n=1时，a1=s1=2-30=-28,也适合上式，所 以这个数列的通项公式为 an=4n-32. 又因为 an-an-1=(4n-32)-[4(n-1)-32]=4(n≥2), 所以﹛an﹜是等差数列。