常见数列通项公式的求法公式:1、 定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习:数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. (1) 当()f n d =为常数时,{}n a 为等差数列,则()11n a a n d =+-; (2) 当()f n 为n 的函数时,用累加法. 方法如下:由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时,()11n n a a f n --=-,()122n n a a f n ---=-,()322a a f -=,()211a a f -=,以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++(3)已知1a ,()n f a a n n =-+1,其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若()f n 可以是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;③若()f n 可以是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若()f n 可以是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1:已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2:已知数列{}n a 中,111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3:已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式.3、 累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3,……,1n -,可得到下面1n -个式子: ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得: ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n na a a a n +==+求.练习1:数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列,且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=,求{}n a 的通项公式.4、 奇偶分析法(1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时,则数列为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时,由()1n n a a f n ++=,()11n n a a f n -+=-两式相减,得到()()+111n n a a f n f n --=--,分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=,求{}n a 的通项公式.练习:数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-,求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=,求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-,求{}n a 的通项公式.练习2:数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-,求{}n a 的通项公式.(2) 对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时,则数列为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时,由()1n n a a f n +⋅=,()11n n a a f n -⋅=-两式相除,得到()()+111n n f n a a f n -=-,分奇偶项来求通项.例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=,求{}n a 的通项公式.练习:已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-,求{}n a 的通项公式.例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3nn n a a a +=⋅=,求{}n a 的通项公式.练习2:数列{}n a 满足111,2nn n a a a +=⋅=,求{}n a 的通项公式.5、 待定系数法(构造法)若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:(1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列.(2)()11111,n p n n nn n n naa a pa tpt p t pp +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列例8、已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .练习:已数列{}n a 中,11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例9、已知数列{}n a 中,1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1:已知数列{}n a 中,113,22nn n a a a -=-=+,则=n a ________.练习2:已知数列{}n a 中,112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1:设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+,则=n a ________.练习2:已知数列{}n a 中,111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,求n a .练习3:已知数列{}n a ()n N *∈的满足:111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭(1)判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.练习1:数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2:数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中,()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥,求求{}n a 的通项公式.练习1:已知数列{}n a 中,12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===,求求{}n a 的通项公式.练习2:在数列{}n a 中,11a =,235a =,2n a +=135n a ++23n a ,令1n n n b a a +=- 。
(1) 求证:数列{}n b 是等比数列,并求n b 。
(2)求数列{}n a 的通项公式 。
6、利用n a 与n S 的关系如果给出条件是n a 与n S 的关系式,可利用111,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.例13、已知数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ,求{}n a 的通项公式.练习1:已知数列{}n a 的前n 项和为2134n S n n =-+,求{}n a 的通项公式.练习2:若数列{}n a 的前n 项和为33,2n n S a =-求{}n a 的通项公式.练习3:已知数列{}n a 前n 项和2142n n n S a -=--,求{}n a 的通项公式.7、 倒数法 (1)11111=,n n n n n n n n pa qa p q a qa p a pa a p a ++⎧⎫+=⇒=+⎨⎬+⎩⎭构造是等差数列(2) 1111=n n n n n n n pa qa t t q a qa t a pa p a p+++=⇒=++例14、已知数列{}n a 满足1=1a ,1232nn n a a a +=+,求{}n a 的通项公式.练习:已知数列{}n a 中,113,,12nn na a a a +==+则n a ________.=例15、已知数列{}n a 满足1=1a ,11234n n n a a a --=+,求{}n a 的通项公式.练习:已知数列{}n a 中,1122,,31n n na a a a +==+则n a ________.=8、()1110,0lg lg lg ,rn n n n n n n a pa p a a p r a a pa q +++=>>−−−−→=+=+两边取对数转化为型 例16、已知数列{}n a 中,211100,10,n n a a a +==⋅求n a练习:已知数列{}n a 中,3112,2,n n a a a +==⋅求n a9、其他例17、已数列{}n a 中,11a =-,11n n n n a a a a ++⋅=-,则数列通项n a =____. 例18、在数列{}n a 中,1a =1,n ≥2时,n a 、n S 、n S -12成等比数列. (1)求234,,a a a ; (2)求数列{}n a 的通项公式.例19、已知在等比数列{a n }中,11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{}n b 满足()12323n n b b b nb a n N *++++=∈,求数列{}n b 的通项公式例20、已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{b n }的第二项,第三项,第四项.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }对任意正整数n ,均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯⋯+=,求c n.。