质点受到约束, 其自由度减少.
（2） 约束力和主动力
约束是通过约束物实现的, 为强制质点满足约束 条件, 约束物与质点间有力的相互作用, 称约束物 对质点施加的力为约束力 (或称为约束反力, 约束 反作用力).而把质点所受的, 除约束力之外的其他 力称为主动力 (叫非约束力可能更准确).
§3-2 质点运动微分方程
lm。0.05
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
y

( mv0 y b

m2g b2
)(1

e

b m
t
)

mg b
t
§3-2 质点运动微分方程
讨论 （1） t 时,
v, x 0
vy

mg b
,
x mv0x , y (实际以落地为止). b
（2）轨道方程
y (v0y

mg
m2g )x ln(1
bx
)
v0x bv0x
b0
更加深入的讨论
y v0y x 1 g x2
v0x
2 v02x
2
中世纪抛体图
对吗？ 1 3
§3-2 质点运动微分方程 对称性原理
平面运动
能量分析：水平能量耗尽，竖直运动受力平衡， 达到终极速度。
m
dv

F
dt
vdt

m
dv

F
dr
dt
d(
1 2
mv2
)

F
dr
主动力已知力的函F数
F(r, r,,t约) 束力是未知的.
弹性力：弹簧弹性力、绳的张力、面的支撑力
（3） 在牛顿第二定律中主动力和约束力的地位是
平等的
mr
F(r,
r, t
)

FR
例题1 (1) 约束方程
x2 y 2 l 2 r l
z 0
m dvx dt

Fx
vx
dt

m
dvx dt

Fxdx
d(
1 2
mv
2 x
)

Fxdx
§3-2 质点运动微分方程
三种情况下的动力学微分方程
伽里略无阻力模型
mx 0
F

bv
my mg mx bx
F

bvv
my mg by mx b x2 y2 x
mr
mv
mg

bv
即
mvx bvx mvy mg bvy
§3-2 质点运动微分方程
mvx bvx
x

mv 0 x
bt
(1 ex v0xe m
vy

(v0 y

mg b
bt
)e m

mg b
mz Fz (x, y, z, x, y, z,t)
§3-2 质点运动微分方程 线性:力是位置和速度的线性函数，有一般的 解法，线性方程只是实际问题中的少数情况.
非线性:力是位置和速度的非线性函数，无一 般的解法，实际问题中大多数是非线性的.
如它果们能由求初条出解件析t 解时,0其通解r和中r应0 有确6定v个 .积v分0 常数,
mr
F (r ,
r, t )
例题2 实验表明，阻力与速率一次方成正比的规律仅 适用于速度量级为10-2m/s的极其缓慢运动。一般情 况下，阻力与速率平方成正比的规律较符合实际情况。 但此时方程是非线性的，求解析解很复杂。采用简单 的情况进行讨论，虽然不完全符合实际，但仍能了解 有阻力情况下抛体运动的一些共同特征。
my mg b x2 y2 y
§3-2 质点运动微分方程
F bv2 情况下终极速度的估算
设物体尺度为 l
F mg
bvz2 mg
l 2vz2 l 3
vz l
人
vz m5/0s
伞
vz m6/s
人 l 1m.8，小鸟（鼠）
可解释 很多现 象！！！
根据问题的特点选用不同的坐标系很重要！
§3-2 质点运动微分方程
2. 质点运动微分方程的运动积分(初积分或第 一积分) 将运动微分方程G作(一r,次r,积t) 分 ,C得到一阶微分方程
该一阶微分方程称为质点运动微分方程的运动积分,
积分常数 C由初始条件确定.
从数学上看, 找到运动积分使运动微分方程由二 阶微分方程降为一阶微分方程, 有利于求解.
§3-2 质点运动微分方程
1. 质点运动微分方程

力 F的函数中不包括其他质点的位置和速度
F

F(r,
r, t)
质点的运动微分方程
mr F(r, r,t)
r r(t)
mx my
Fx Fy
(x, (x,
y, y,
z, z,
x, y, z,t) x, y, z,t)
非线性微分方程组无一般解法，通常采用计算机求数
值解，为一般化，我们考虑 F 模v型n
mx
b( x2

y )2
n1 2

x
my
mg

b( x2
b2
mv0 x
§3-2 质点运动微分方程
与无阻力情况轨道比较
b0
泰勒展开
ln(1 bx ) bx
mv 0 x
mv 0 x
1 ( bx )2 1 ( bx )3 2 mv0x 3 mv0x
y

v0 y v0 x
x
1 2
g v02x
x2
1 3
bx mv30 x
x3

§3-2 质点运动微分方程 这回可以了！！！
或

z 0
约束力 主动力
FR FT

F W mg
§3-2 质点运动微分方程
(2) 约束方程
y 0
z 0

约束力 FR FN Ff
主动力
F W F1 mg kxi
空气阻力也是主动力
§3-2 质点运动微分方程
4. 自由质点的动力学方程组及例题
从物理上看, 第一积分对应着某个运动守恒量, 可能有明确的物理意义.
我们常利用物理意义明确的第一积分, 如动量守 恒、角动量守恒和机械能守恒等, 以达到简化问题求 解过程的目的.
§3-2 质点运动微分方程
3. 约束 牛顿力学中力的分类
（1） 约束的概念和约束方程
约束是预先给定的、由约束物给出的对力学系统 运动的限制.