习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。

现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。

证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。

（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。

而现在有任意给定的n+2个整数，我们需要构造n+1个盒子，即对上面2n个余数进行分组，共n+1组：{0},{1，2n-1},{2，2n-2},{3,2n-3},…，{n-1,n+1}，{n}。

根据鸽巢原理，n+2个整数，必有两个整数除以2n落入上面n+1个盒子里中的一个，若是{0}或{n}则说明它们的和及差都能被2n整除；若是剩下n-1组，因为一组有两个余数，余数相同则它们的差能被2n整除，不同则它们的和能被2n整除。

证明成立。

一个网站在9天中被访问了1800次，证明：存在连续的3天，这个网站的访问量超多600次。

证明：设网站在9天中访问数分别为a1，a2，...，a9 其中a1+a2+...+a9 = 1800，令a1+a2+a3 = b1，a4+a5+a6 = b2，a7+a8+a9 = b3因为（b1+b2+b3）/3 >= 600 由推论2.2.2知，b1，b2，b3中至少有一个数大于等于600。

所以存在有连续的三天，访问量大于等于600次。

将一个矩形分成5行41列的网格，每个格子涂1种颜色，有4种颜色可以选择，证明：无论怎样涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明：首先对一列而言，因为有5行，只有4只颜色选择，根据鸽巢原理，则必有两个单元格的颜色相同。

另外，每列中两个单元格的不同位置组合有52=10种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有10*4=40种情况。

而现在共有41列，根据鸽巢原理，无论怎样涂色，则必有两列相同，也就是必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子是同一颜色。

将一个矩形分成(m+1)行112mm列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明：（1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。

（2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有12m m种情况（3）现在有112mm列，根据鸽巢原理，必有两列相同。

证明结论成立。

一名实验员在50天里每天至少做一次实验，而实验总次数不超过75。

证明一定存在连续的若干天，她正好做了24次实验。

证明：令b1，b2，...，b50 分别为这50天中他每天的实验数，并做部分和a1 = b1，a2 = b1+b2 ，。

a50 = b1+b2+...+b50 .由题，bi>=1(1<=i<=50)且a50<=75所以1<=a1<a2<a3<…<a50<=75 (*)考虑数列a1，a2，...，a50，a1+24，a2+24，a50+24，它们都在1与75+24=99之间。

由鸽巢原理知，其中必有两项相等。

由（*）知，a1，a2，...，a50互不相等，从而a1+24，...a50+24 也互不相等，所以一定存在1<=i<j<=50, 使得b b b所以aj = ai+24，即24=aj-ai=(b1+b2+b3+…+bi+…+bj)-(b1+b2+…+bi)=12...i i j从第i+1天到第j天这连续j-i天中，她正好做了24次实验。

证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。

证明：将S划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.证明：从1~200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。

证明：设这70个数为a1,a2,…,a70,a1+4,a2+4,…,a70+4,a1+9,a2+9,…,a70+9,取值范围209，共210个数证明：对于任意大于等于2的正整数n ，都有R (2,n )=n 。

证明：要证R （2，n ）= n ，用红蓝两色涂色Kn 的边。

当n=2时，R(2,2)=2，因为不管用红还是蓝色都是完全二边形。

假设当n=k 时 成立 ，即存在R(2,k)=k （没有一条红边，只有蓝边），当n=k+1时，R （2，k+1） 若无红边，要想有完全k+1边形，必得有k+1个点，即R （2，k+1）=k+1。

证明成立。

习题三有10名大学生被通知参加用人单位的面试，如果5个人被安排在上午面试，5个人被安排在下午面试，则有多少种不同的安排面试的顺序解：上午的5个人全排列为5！下午的5个人全排列为5！所以有510*5!*5!10!C =，共14400种不同的安排方法。

某个单位内部的电话号码是4位数字，如果要求数字不能重复，那么最多可有多少个号码如果第一位数字不能是0，那么最多能有多少个电话号码解：由于数字不能重复，0-9共10个数字，所以最多有10*9*8*7=5040种号码；若第一位不能是0，则最多有9*9*8*7=4536种号码。

18名排球运动员被分成A ,B ,C 三个组，使得每组有6名运动员，那么有多少种分法如果是分成三个组（不可区别），使得每组仍有6名运动员，那么有多少种分法解：1)66618126**C C C 种 2) 66618126**C C C /3!教室有两排，每排8个座位。

现有学生14人，其中的5个人总坐在前排，4个人总坐在后排，求有多少种方法将学生安排在座位上解：前排8个座位，5人固定，共58*5!C 种方法；后排8个座位，4人固定，共48*4!C 种方法；前排和后排还剩7个座位，由剩下的5人挑选5个座位，共57*5!C 种方法；则一共有545887***5!*5!*4!C C C 种安排方法。

将英文字母表中的26个字母排序，要求任意两个元音字母不能相邻，则有多少种排序方法解：先排21个辅音字母，共有21！ 再将5个元音插入到22个空隙中，522P 故所求为522!21P ⨯(插入法)有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐，要求男女交替就坐，则有多少种不同的排坐方式解：6男全排列6!；6女全排列6！；6女插入6男的前6个空或者后6个空，即女打头或男打头6!*6!*2；再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!或男6的圆排列为5！，对每个男的排列，女要在他们之间的6个位置，进行线性排列6！（而不是5！）。

（圆排列可以通过线性排列来解决）15个人围坐一个圆桌开会，如果先生A拒绝和先生B和C相邻，那么有多少种排坐方式解：15人圆排列14！；A与B相邻有2*14!/14=2*13!；A与C相邻有2*14!/14=2*13!；A与BC同时相邻有2*13!/13=2*12!；于是A不与B、C相邻的坐法共14!- 2*13!- 2*13!+ 2*12!（用到了容斥原理）确定多重集M⋅⋅=的11-排列数解：M的11排列=[M-{a}]的11排列+[M-{b}]的a⋅b3{c5,}4,11排列+[M-{c}]的11排列，即11!11!11!++=27720当然了，容斥原理，2!4!5!3!3!5!3!4!4!生成函数也可以做。

求方程204321=+++x x x x ，满足1,5,0,24321-≥≥≥≥x x x x 的整数解的个数。

解：令1122334420,0,50,10y x y x y x y x =-≥=≥=-≥=+≥则有123414y y y y +++=，由定理3.3.3，解个数为：1441171768014143+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭书架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种解：n=20，r=4，1204117238044n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明见38页。

若卷号差为2，3，。

，公式为确定(2x -3y )5展开式中x 4y 和x 2y 4的系数。

解：1）4x y ：4415*(2)*(3)C x y -，系数为-2402）24x y ：系数为0。

确定(1+x )-5展开式中x 4的系数。

解：01(1)(1)n rr r n r x x r ∞-=+-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑，n=5，r=4，则系数为4541(1)704+-⎛⎫-= ⎪⎝⎭确定(x +2y+3z )8展开式中x 4y 2x 2的系数。

解：228!*2*3151204!*2!*2!=证明组合等式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k n k k n n n n 122110 ，其中n ,k 为正整数。