(1
1 x
2
)
2
2、7 设 G 1 2x2 3x4 4x6 .... (n 1)x2n .... 求 (1 x2 )G, (1 x2 )2 G 。
题解: G 1 2x2 3x4 4x6 .... (n 1)x2n ....(1) x2G x2 2x4 3x6 4x8 .... (n)x2n (n 1)x2n2 ....(2)
题解:(1)带入母函数公式得: G(x) 1 x2 x4 x6 .... x2n .... 1 x2n 1 x2
(2)带入母函数公式得: G(x)
( x1
x3
x5
....
x2n1
....)
x(1 x2n ) 1 x2
(3)有(1)与(2)相加得到: 1 x2n 1 x
2、 9 设 G=1+3x+6 x2 +10 x3 + ……+C(n+2,2) xn +……
(1)-(2)得: G x2G 1 x2 x4 x6 .... (n)x2n ....
(1
x2
)G
1 1
x2n x2
(1 x2 )2 G 1 x2n 2、8 求下列序列得母函数:
(1)1,0,1,0,1,0…、、 (2)0,-1,0,-1,0,-1……、 (3)1,-1,1,-1,1,-1……
x 4 : a4 4a3 6a2 4a1 a0 0
x5 : a5 4a4 6a3 4a2 a1 0
x n1 : an1 4an2 6an3 4an4 an5 0
x n : an 4an1 6an2 4an3 an4 0
母函数: Gx 36 20x 6x2 x 14
1 7x 1 8x
i0
i0
an 2 * (7)n 8n
2.5 设 Gn F2n ,其中 Fn 就是第 n 个 Fibonacci 数。证明: Gn 3Gn1 Gn2 0 ,
n=2,3,4…。求{G0 ,G1,G2 ,} 得母函数。
解:设 H (x) G0 G1x G2 x 2 G3 x3 ,则
2、1 求序列{0,1,8,27,… n3 …}得母函数。
解: Gx a0 a1x a2 x2 a3 x3 an xn Gx 0 x 8x2 27x3 n3 xn
an n3
an1 n 13
an 4an1 6an2 4an3 an4 0 左右同乘再连加:
又已知 Gn F2n ,则 G0 F0 0 , G1 F2 1
所以, H (x) x
x
1 3x x2 3 5 3 5(来自 x)(x)2
2
设 H (x) A B ,则可列出方程组:
3 5 x 3 5 x
2
2
A B 1
3 2
5
A 3 2
5B0
那么,
,解得
A
5
3 10
5
B
5
10x 2
20x3
3n
3xn
H (x) G0 G1x G2 x 2 G3 x3 G4 x 4
……①
3xH (x) 3G0 x 3G1x 2 3G2 x3 3G3 x 4
……②
x 2 H (x) G0 x 2 G1x3 G2 x 4
……③
①-②+③,得:
1 3x x 2 H (x) G0 G1x 3G0 x
,求对应得序列an 。
解:母函数为 G(x) 3 9x 3 9x 1 x 56x2 (1 7x)(1 8x)
令G(x) A B 1 7x 1 8x
A(1 8x) B(1 7x) 3 9x
AB3 8A+7B= 9 解得:A=2 B=1
所以 G(x)
2
1
2* (7x)i (8x)i
=1+2 x2 +3 x4 +4 x6 + ……
x2 G(x)= x2 +2 x4 +3 x6 + ……
(1- x2 )*G(x)=1+ x2 + x4 + x6 +……
(1- x2 )*G(x)= (2 v jv
ej
s js
2
v jv
aij )
v jv s js
1 1 x2
G(x)=
从而有:
A B 3 6A 9B
78
A B
7 4
G(X)= 7 4 (1 9x) (1 6x)
G(X)=7 (1 9x 92 x 2 93 x3 ) 4 (1 (-6)x (-6) 2 x 2 (6)3 x3 )
a n =7* 9n 4 * (6) n
2、4.已知母函数 3 9x 1 x 56x2
2、2
已知序列{
3 3
,
4 3
, …… ,
n3 3
, ……} ,求母函数。
解:
1 (1 x)n
得第
k
项为:
(kn n 1
1
)
,对于本题,n=4,
母函数为: 1 (1 x)4
2、3
已知母函数 G(X)=
3 78x 1 3x 54x 2
,求序列{
an
}
解:G(X)= 3 78 x = A B (1 9x)(1 6x) (1 9x) (1 6x)
x2 G=
x2 + 3 x3 +……
(1-x)G=1+2x+3 x2 +4 x3 + ……+(n+1) xn +……
(1- x2 )G=1+x+ x2 + x3 + ……+ xn +……
(1 x)3 G=(1-x)(1-x)(1-x)G 逐步相乘,根据以上两式可得
(1 x)3 G=1
2、10
H
1
4x
3 10
5
H (x)
A
B
(3 5 )(1 3 5 x) (3 5 )(1 3 5 x)
2
2
2
2
5 (3
i
5 x)
5 (3
i
5 x)
5 i0 2
5 i0 2
5 5
i0
(
3
2
5 )i
(3 2
5
)
i
x
i
2、 6 求序列{1,0,2,0,3,4,0,……}
解: G(x)=1+0*x+2* x2 +0* x3 +3* x4 +0* x3 +0* x5 +4* x6 + ……
证明:(1)(1-x)G=1+2x+3 x2 +4 x3 + ……+(n+1) xn +……
(2)(1- x2 )G=1+x+ x2 + x3 + ……+ xn +……
(3) (1 x)3 G=1
证: G=1+3x+6 x2 +10 x3 + ……+C(n+2,2) xn +……
xG= x+3 x2 + 6 x3 +……