FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
力偶不能与一个力相平衡。
证：用反证法。即假设平衡力存在 1、平衡力与力偶作用面平行。 由性质一知总可以转动力偶和平行 搬移力偶作用面使三力有两个交点， 这与平衡汇交定理相矛盾。 2、 平衡力与力偶作用面不平行。 仍由性质一知总可以转动力偶和 平行搬移力偶作用面使力偶中的 一个力与所谓的平衡力合成为一 个大小及方位都与力偶的另一个 力不同的力,这与二力平衡原理相 矛盾 。
F2 r
证：
R F1
A F3
M O ( R) M O ( Fi )
i 1
n
y
x
合力矩定理的两个用处:
1)求力矩
2)确定合力作用线位置
例3-1曲拐OAB。已知 OA﹑AB﹑θ ﹑P,求MO ( P )。
A
O 解法一 依定义解
P
θ
B
MO ( P ) = P × h = P ×OB ×sin θ
设 r 为矩心到汇交点的矢径，R 为F1、 F2、…、Fn的合力，即：
R = F1 + F2 +…+ Fn 可得： z MO (R) = r×R = r×( F1 + F2 +…+ Fn ) = r× F1 + r× F2 + … + r× Fn = MO (F1) + MO (F2) + … + MO (F n ) O 也就是：
l
2 作用线过 h l 3 几何中心
§3-2
力偶矩矢
4)平行反向且大小相等的两力 ？ R = 0 ？
？
力 偶
由两个等值、反 向且不共线的平行力 组成的力系。记作 （ F ， F ’） 力偶只能对物体发生转 动作用效应
2. 力偶与力偶矩
力偶 —— 由两个等值、 反向且不共线的平行力组成的 力系。记作（ F，F ’）
n
i
0
三铰刚架由两直角刚架组成，AC 部分上作 用一力偶，其力偶矩为 M， 自重不计， 且 a : c = b : a，求A、B支座的反力。
例3-3
FC
C
M a A M
C
C
FC
B
A
b
c
B
FA
受力分析
FA
FB
M a 2 b2
解： 由 a : c = b : a 知：AC ⊥CB，
AC为对象，∑M = 0 , FA a 2 b 2 M 0
—— 力对点之矩矢（过矩心O的定位矢量 ）
矢径的矢量表达式：
r = x i + y j + z k
力F的矢量表达式： F = X i + Y j + Z k 力F对 o 点之矩矢的表达式：
z
F
i M O (F ) r F x X
y
= ( y Z - z Y ) i +( x Y - y X )k
的力偶矩相等，则此二力偶等效。
性质一
（1 ） 力偶在其作用面 内只要力偶矩不变（即力与力 偶臂的积不变），它就可以随 意的转移， 也可以增大力 的同时减小力偶臂（或减小力 的同时增大力偶臂），不改变 它对刚体的作用效应。
（2 ） 力偶的作 用面可以随意平行搬移， 不改变它对刚体的作用 效应。
性质二
P q A x h l dx
x
解：距 A 端为 x 的微段 dx q 上作用力的大小为 q dx x
其中
qx = q x / l
B
x 设合力P 到 A点的距离 h
合力的大小为
1 P q x dx ql 0 2
l
• 合力对 A 点的矩可由合力矩定理得：
三角形面积
ql 2 Ph q x xdx 0 3
j y Y
k z Z
r
O
A
+ ( z X - x Z ) j
x
1）力对点之矩随矩心的变化而变化（力关于各点的转动 作用效应不同） 2）力沿作用线滑移时，力对点之矩不变（h不变） 3）F=0或力作用线通过矩心，力对点之矩为零
合力矩定理
汇交力系的合力对点的矩等于该力系 所有分力对同一点之矩矢的矢量和。
引言
• 力偶：作用在刚体上大小相等、方向相反且不 共线的两个力组成的力系称为力偶 • 力偶两个力所在平面称为力偶作用面 • 二力作用线之间的距离d称为力偶臂 • 作用于刚体上的一群力偶称为力偶系
§3-1 力对点的矩
力对点的矩是度量力对刚体绕点转动的作用效应。 记为 M O( F )
a.
n
平面内力对点之矩
B F O ——称为矩心 h —— 称为力臂
平面上力对点之 矩的两要素： 1）力的大小与 力臂的乘积 2）转动方向 平面力对点之矩为代数量
r
O h
A
且
或
M
O
( F ) = ±F h
M
KNm
O
( F
) = ±2△OAB
单位：Nm 或
力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。
b.
空间力对点之矩矢
n B z A y
力偶对空间任一点的矩都相 等，即等于力偶矩矢。
证： 如图求力偶（F，F ’）对任 意点，如 O 点的矩。 画出 O 点到二力作用点 A、B 的矢径
M B
F’
rB
n
d
rBA
rA
F A
MO ( F, F ) MO ( F ) MO ( F )
r A F rB F (r A rB ) F rBA F
平面力偶系的力偶
若在所研究的问题中，所 F’ 有的力偶都作用在同一平面内， C 则称为平面力偶系。 平面力偶的两要素
B d F A
1)力和力偶臂的乘积
2)力偶的转向 平面力偶系的力偶为代数量,以力偶矩 M 描述 力偶矩 M = ±F d = ±2△ ACB 一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。
两个力所在平面 两个力间的垂距d
M
B F’ d F
n
力偶作用面 力偶臂
A
空间力偶系的力偶
空间力偶三要素 1)力和力偶臂乘积 2)力偶作用面的方位 3)力偶的转向 空间力偶系的力偶为矢量 这一矢量称作 力偶矩矢 记 作 M 1）其长度表示力偶矩大小
2）方位与作用面法向n平行
3）指向与力偶转向的关系
服从右手螺旋法则
M2 C A
r α
C
O M
1
M
A
FA
2
A
α α
FA
α
FO
O M
1
B
FB
B
先以轮为对象， M2 C ∑M = 0 ， M1 - FA r sin α = 0
M1 2M 1 FA r sin 30 r
M
1
=2kNm，OA = r = 0.5m
A
FA
α
FA
A B
α α
FO
O M
1
再以摇杆为研究对 象 由力偶平衡条件
空间力系中力对点 之矩的三要素： 1）力的大小与力臂的乘积 2）力与矩心组成的平面方位 3）转动方向 空间力对点之矩为矢量 记作
MO(F)
O h x r r
F
MO (F)
1）矢量的模等于力矩的大小 2）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向平行 3）矢量的指向按右手法则确定了转向
MO (F) = r×F
R
• 在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑ M
i
§3-5 力偶系的平衡条件
• 由合成结果可知： 力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力 偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。
Mi 0
i 1
n
•平面力偶系平衡条件：
M
i 1