均值不等式应用（技巧）
22
11
1
11
n n
n
a a a a
n
n
a a
++++
≤≤≤
++
其中，2,3
n=等的各式及其变式公式均可供选用。

1.（1）若R
b
a∈
,，则ab
b
a2
2
2≥
+ (2)若R
b
a∈
,，则
2
2
2b
a
ab
+
≤（当且仅当b
a=时取“=”）2. (1)若*
,R
b
a∈，则ab
b
a
≥
+
2
(2)若*
,R
b
a∈，则ab
b
a2
≥
+（当且仅当b
a=时取“=”）
(3)若*
,R
b
a∈，则
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
≤
b
a
ab (当且仅当b
a=时取“=”）
3.若0
x>，则
1
2
x
x
+≥ (当且仅当1
x=时取“=”）;若0
x<，则
1
2
x
x
+≤- (当且仅当1
x=-时取“=”）若0
x≠，则111
22-2
x x x
x x x
+≥+≥+≤
即或 (当且仅当b
a=时取“=”）
3.若0
>
ab，则2
≥
+
a
b
b
a (当且仅当b
a=时取“=”）
若0
ab≠，则22-2
a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤
即或 (当且仅当b
a=时取“=”）
4.若R
b
a∈
,，则
2
)
2
(
2
2
2
b
a
b
a+
≤
+（当且仅当b
a=时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋
1
2x 2（2）y＝x＋
1
x
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设2
3
0<
<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

技巧四：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。

例：求函数2
y =
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231
,(0)x x y x x
++=
> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y =.；
3．2
03
x <<
，求函数y =.
条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是 .
变式：若44log log 2x y +=，求
11
x y
+的最小值.并求x,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x
+的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a
++>++222
2.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
例6：已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且
19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=
⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .。