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当堂达标 固双基
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1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最
小值．( )
(2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.( )
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值
是2
x x－1.(
)
栏目导航Biblioteka [提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
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在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最 小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．
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3．某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一 栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x(单位：元)．为 了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注： 平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ 购地总费用 建筑总面积
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1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变 形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会 观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补 项．常见形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．
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2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值． [解] 法一：1a＋1b＝1a＋1b·1
即xy＝ ＝132， 时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
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若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的 最小值．
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[解] ∵x，y∈R＋， ∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y ＝8＋1x6y＋xy＋2＝10＋1x6y＋xy≥10＋2 16＝18. 当且仅当1x6y＝xy时取等号， 结合x＋2y＝1，得x＝23，y＝16， ∴当x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值18.
合作探究 提素养
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利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x<54，求y＝4x－2＋4x－1 5的最大值；
(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
[思路点拨]
(1)看到求y＝4x－2＋
1 4x－5
的最值，想到如何才能
出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
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利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条 件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式 的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方 向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数 的基本性质的知识解决.
＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－

2 2
时等号成立，
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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利用均值不等式解决实际问题 【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网 材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最 大？
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法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y. ∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0. ∴S≤326－2y＋y2＝227. 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
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课时分层 作 业
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(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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自主预习 探新知
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已知x，y都是正数． (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最 大 值S42. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最 小 值2 p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
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1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )
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2．若x>0，则x＋2x的最小值是________． 2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当且仅当x＝ 2时，等号成立．]
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3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________． 100 [∵x，y∈N*， ∴20＝x＋y≥2 xy， ∴xy≤100.]
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D.25
A [∵0<x<1，∴1－x>0，
则 x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×x＋12－x2＝34， 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时取等号．]
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4．已知 x>0，求 y＝x22＋x 1的最大值． [解] y＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴y≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
A [由均值不等式得，ab≤a＋2 b2＝1.]
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3．已知 0<x<1，则 x(3－3x)取最大值时 x 的值为( )
1
3
A.2
B.4
C.23
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[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1.
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(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当2x＝1－2x0<x<12，即x＝14时，ymax＝116.
第二章 等式与不等式
2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用
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学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用均值不等式 1.通过均值不等式求最值，提升
求函数的最值问题．(重点) 数学运算素养．
2．会用均值不等式求解实际 2．借助均值不等式在实际问题
应用题．(难点)
中的应用，培养数学建模素养.
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[解] 设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
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法一：由于2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以2 6xy≤18，得xy≤227， 即Smax＝227，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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1．(1)已知x>0，求函数y＝x2＋5xx＋4的最小值； (2)已知0<x<13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
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[解] (1)∵y＝x2＋5xx＋4＝x＋4x＋5≥2 4＋5＝9， 当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立． 故y＝x2＋5xx＋4(x>0)的最小值为9.