弦振动的研究
'、实验目的
1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。
2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密p、弦长L和弦的张力T的关系，并进行测
量。
、、实验仪器
弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺
、实验原理
为了研究问题的方便，认为波动是从A 点发出的，沿弦线朝E端方向传播，称为入射波，再由E端反射沿弦线朝A端传播，称为反射
波。
入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传
播时将相互干涉，移动劈尖E 到适合位置•弦线上
的波就形成驻波。
这时, 弦线上的波被分成几段形
成波节和波腹。
驻波形成如图（2）所示。
设图中的两列波是沿X轴相向方向传
播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。
向右传播的用细实线表示，向
图（2）左传播的用细虚线
表示，它们的合成驻波用粗
实线表示。
由图可见，两个
波腹间的距离都是等于半
个波长，这可从波动方程推
导出来。
下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。
设沿X轴正方向传播的波为入射
波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点
“0”，且在X二0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：
Y i = Acos2 (ft —x/ )
Y2 = Acos[2 (ft + x/ "+ ]
式中A为简谐波的振幅，f为频率，为波长，X为弦线上质点的坐标位置。
两波
叠加后的合成波为驻波，其方程为：
Y i + 丫2 = 2Acos[2 (x/ ) + /2]Acos2 ft ①
由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，
它们的振幅为丨2A cos[2 (x/ )+ /2] | ，与时间无关t，只与质点的位置
x有关。
由于波节处振幅为零，即：丨cos[2
(x/ ) + /2]
|
=0
2 (x/ ) + /2 = (2k+1) / 2 (k=0. 2. 3. …)
可得波节的位置为：
x = k /2 ②而相邻两波节之间的距离为：
X k+1 —X k = (k + 1) 12—k / 2 = / 2③又因为波腹处的质点振幅为最大，即I cos[2 (x/ ) + /2] | =1
2(x/ ) + /2 = k ( k=0. 1.2. 3.
)
可得波腹的位置为：
x = (2k-1) /4 ④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。
因此，在驻波实验中，只要测得相
邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。
在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，
只有当弦线的两个固定端之间的距离(弦长)等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：
L= n / 2 ( n=1.2. 3. …)
由此可得沿弦线传播的横波波长为：
=2L/n ⑤
式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。
根据波速、频率及波长的普遍关系式：V= f，将⑤式代入可得弦线上横波
的传播速度：
V = 2Lf/n ⑥
另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：
V= (T/ P)1/2⑦
式中T为弦线中的张力，p为弦线单位长度的质量，即线密度。
再由⑥⑦式可得
f = (T/ p)1/2(n/2L )
得T =p/ (n /2Lf ) 2
即p^T (n/2Lf ) 2( n=1.2. 3. …)⑧
由⑧式可知，当给定T、p、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。
四、实验内容
1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据
2、测定11 个砝码的质量，记录数据
3、组装仪器
4、调节电振音叉频率，弦线长度和砝码数量得到多段驻波，用米尺测量驻波长度，记录频率，砝码质量，波数，波长。
(靠近振动端的第一个驻波不完整，要从第二个驻波开始测量波长)
五、数据记录及处理
1 、弦线密度测定
弦线总长：2.00m 总质量：0.383g (=0.383/2.00=0.1915 g/m 2、砝码质量测定：兰州g=9.793m/s2
v/m/s
IgT/N
-1.30 -1.30 -1.30 -1.00 -1.00 -0.70 -0.46 -0.00
9
9 9 9 9 8 5 9 lgv/m -0.29 -0.29 -0.29 -0.14 -0.14
0.005
0.126
0.354
/s
6
6
6
6
6
2.500 O.ODQ XT 图象
2.262
■
< Jl EJVL
TiT. —ndTLir
0.000
1200
2.000
1.333
DSOO
0.200 0 400 0.&00 OSOO 1Q0D
Igv-I 打图象
^=0 50013(+ 03 &
■"
_.+* ______________
0 05 1
1-5
2
2_
06
C.2
六、实验分析
本实验结果基本符合经验公式，但还存在误差，分析有以下原因：
1、未等挂在弦线上的砝码稳定就开始测量。
2、未等形成的驻波稳定就开始记录数据。
3、用米尺测量时读数不够精确。
七、实验问题
1、•如果要确定v与c的关系，实验应如何安排？
答：应准备材质不同的弦线，在频率f和张力T 一定的情况下，出现不同数量的驻波，测量对应波长L, V=2Lf，作出c—V图像。
c作为V的幕函数令c=AV ,
两边取对数得
lg c=lgA+BlgV 作lg c —lgV 图像求A,B. 若B=V,A=T 则公式推导正确。
2、弦振动时，使N （波数）为偶数，将音叉转90。
后，观察现象，并说明原因。
答：旋转音叉90°波数变为N/2 。
原因是音叉带动的弦线由原来的左右摆动变成了前后摆动，形成的都是横波，原来左右振动一个周期形成两个波，旋转90°之
后前后振动一个周期只形成了一个波，此时，电振音叉的振动频率不变，但是弦线的振动频率变为了原来的一半，所以波数减半。