∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90° ∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且 ∠AOB=∠COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）
。 中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由
练4 （9分压轴题） ：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中， ∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你 写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其 它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。
7. ∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 ∠A=∠DEB BD=BD ∠ABD=∠DBE ∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE ∴BE=AB AD=DE ∵AB=AC
∴BE+CE=AC+CE △DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10
①
②
③
练5（9分题）：已知，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB与E，DF⊥AC与F。 （1）求证：AD⊥EF （2）如图②、③，当有一动点G在AD所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时 EF⊥AD的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
①
②
③
练6（9分压轴题）：如图①，一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两 条边分别重合在一起。现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点O也 是BD的中点）顺时针方向旋转。（1）如图②，当EF与AB相交于点O，GF与BD相交于点 N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想。 （2）将三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点 M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时（1）中的猜想还成立吗？若成立，
例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。
（3）求证：AD＝AB+CD
练2（6分题） ：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD
4.∵BP CD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠ PCB ∴DP=DP EP=EC ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC， ∠B=45°，∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中， AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，∴△NAO≌
三角形证明题集锦
2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于 F，求证：∠ADB=∠FDC。
A
D E
B
F
C
A
D E
B
F
C
3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB， 求证：MA⊥NA。
N
A
E D
△MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD ∴AE=CF ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF ∠B=60° ∴△EBF为=等 边三角形 ∴角F=60° EF=EB 在△EBC和△EFD中 EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证） BC=DF（已作） ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED
M
B
C
7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
Hale Waihona Puke 何证明习题答案1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为 矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以 ∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。 2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB
例3（6分题） ：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD ＝AB+CD
练4（6分题） ：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边 上的中线，求证：AC=2AE
练2 （6分题） ：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中 点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运 用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简 写成“等角对等边”）。