行列式的性质
基本性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。

推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。

一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备.
设
111212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
， 112111222212n n T n
n
nn
a a a a a a D a a a =
称行列式T
D 为D 的转置行列式．T
D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）．
性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即
111212122212
n n n n nn
a a a a a a a a a 112111222212n n n
n
nn
a a a a a a a a a =
.
证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T
D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T
D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义
1111121211n n D a A a A a A =++
+，
1111212111T T T
T
n n D a A a A a A =+++.
根据归纳假设1111T
A A =，于是
()
1232212
133********
131n n T n
n nn
a a a a a a D a A a a a a +=+-+
()
122242213
132343331
1241n n n
n n nn a a a a a a a a a a a a a +-++
()
12221211323131
1211n n
n n n
n
n n
a a a a a a a a a a -+---.
由归纳假设，可以把上面1n -个1n -阶行列式都按第1列展开，并将含12a 的项合并在一起，其值恰好等于1212a A ，事实上
()
()
333
23
433
12
13
2112
3112
32411n n n
nn
n
n
nn
a a a a a a a a a a a a a a ++-+-++
()
23
13
1112
311n n
n n
n n
a a a a a a -+--
()21311123332343323131232421000000000100
0n n n n n
nn
n
n
nn
n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--⎧⎫⎪⎪⎪⎪=-+
++
⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎩
⎭
()
21
31112
2333312
231n n n
n
nn
a a a a a a a a a a +=-.
()
()
12
12
12121212121211T a M a M a A ++=-=-=，
其中余子式12T
M 是12M 的行、列互换后的行列式，他们都是1n -阶行列式，根据归纳假设
12T M 12M =.
类似地，把含13a 的项合并后其值等于1313,a A ，把含1n a 的项合并后其值等于11n n a A ，
因此T D D =.
由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有．因而，下面关于行列式的性质将仅对行叙述．
性质1.2 对行列式(1.3)中的任一行按下式展开，其值相等，即等于行列式的值.
111212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
1122i i i i in in a A a A a A =+++， （1,2,
,i n =） (1.4)
其中(1)i j ij ij A M +=-，ij M 为D 中划掉第i 行和第j 列的全部元素后，按原顺序排成的1n -阶行列式
1111111111111111111111
1
1
j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n nj nj nn
a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=
，
并称ij M 为元素ij a 的余子式，ij A 为元素ij a 的代数余子式. 证明 对行列式的阶数用数学归纳法.
当2n =时，可以直接计算出结论成立.
假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义
1111121211n n D a A a A a A =++
+
()
22
2322123212
323333133311
12
2
3
13
1n n n n n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+-+
()
212224213
313234313
1
2
4
1n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a +-++
()
212221131
32
31112
1
1n n
n n
n n nn a a a a a a a a a a -+---.
根据归纳假设1j A 可以按照第1i -行展开，于是由归纳假设，把上面n 个1n -阶行列式都按第1i -行展开，并将含1i a 的项合并在一起，其值恰好等于11i i a A ，事实上（不妨取
2i =）
()
()
33
332
34312
13
1221
1321
3
2
4
11n
n
n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a ++-+-++
()
32
31
1121
2
1
1n n
n n nn a a a a a a -+--
()1213112333323433231213
2
4
2
1
000000000100
0n n n n n nn
n n nn
n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--⎧⎫⎪⎪⎪⎪=-+
++
⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎩
⎭
()
12
13112
3233321
2
3
1n n n n nn
a a a a a a a a a a +=-.
()
21
212121211a M a A +=-==，
类似地，把含22a 的项合并后其值等于2222,
a A ，把含2n a 的项合并后其值等于
22n n a A ,
因此，1111121211n n D a A a A a A =++
+2121222222n n a A a A a A =+++.
性质1. 5 行列式两行相同值为零，即
111211
212ln 1
2
0(1)
n k k kn
l l n n nn
a a a a a a D k l n a a a a a a =
=≤<≤
(1.7)
其中ki li a a =（1,2,
,i n =）
． 证明 利用数学归纳法，对于二阶行列式，（1. 7）式显然成立.
假设（1. 7）式对于1n -阶行列式成立，即如果1n -阶行列式两行相同，则值为零. 在n 阶的情况下，对行列式D 按第j 行展开（,j k l ≠），
11
1212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
1122j j j j jn jn a A a A a A =+++.
由于(1)
i j
ji ji A M +=- (1,2,i n =)，且ji M 为1n -阶行列式且两行相同，因此0ji A =.
所以，0D =． 例．计算
解：由于该行列式的所有列加到一起得同一个数a +(n -1)x ，我们就根据这一特点，用行列式的性质6，将D n 的第2列，第3列，…，第n 列的1倍同时加到第1列上去，再由性质3的推论，将公因子a +(n -1)x 提出来，得。