v v k k vQ dxdy vk dΓ vk dΓ x x y y n n Ω Γq Γ
（1.3.12） v k q dΓ 0 n Γq v v k k vQ dxdy v v k dΓ x x y y n Ω Γq 0 vk dΓ v q dΓ 0 n Γ Γq x 对于任意函数v、v ，可以不失一般地设为：v v , 并令： Γ 上式可表示为： y Ω vkdΩ Ω vQdΩ Γ vq dΓ vk n dΓ 0 （1.3.15） Γ q
—— 等效积分的“弱”形式
式（1.3.9）的特点： （1）对函数向量 u 的导数阶数降低了，而对v的导数阶数升高了； （2）对函数向量 v 的连续性要求提高了； （3）对函数向量 u 的连续性要求降低了。
例：二维热传导问题： Ω : A( ) (k ) (k ) Q 0 x x y y Γ q : k q 0 Γ : 0 n
Γ
显然有： 式（1.3.2）与式（1.3.4 ）等价。
（1.3.4）
将式（1.3.5）与式（1.3.7 ）相加，有
v A ( u ) d Ω v B(u)dΓ 0 Ω Γ
（1.3.5）
—— 原定解问题的方程（1.3.1 ）和（1.3.2 ）的等效积分形式。 等效积分式（1.3.5）对函数
v v1 , v2 ,, vm

显然有： 式（1.3.1 ）与式（1.3.3 ）等价
（1.3.3 ）
设一组与方程（1.3.2）个数相同的任意函数向量：
v v1 , v2 ,, vl
v B(u)dΓ Γ Γ

Ω A(u) 0
B(u) 0
v1B1 (u) v2 B2 (u) vl Bl (u)dΓ 0
v v (k )dxdy (k )dxdy v(k )nx dΓ x x x x 对式（1.3.10） Ω x Ω Γ 分部积分： v v (k )dxdy (k )dxdy v(k )n y dΓ y y y y y Ω Ω Γ
式中：n x , n y 边界的外法线方向关于坐标轴的方向余弦。 将其代入式（1.3.10）有
（2）等效积分的“弱”形式：
v v k k vQ dxdy vk nx n y dΓ x x y y y x Ω Γ Γ Γ q Γ v k q dΓ 0 n Γq n
q dΓ v (k ) (k ) Q dxdy v k n x x y y Γq Ω
（1.3.10）
1.3.3 变分原理的定义和意义
1. 变分原理与变分法 若一连续介质问题存在一标量泛函 ：
A( ) 0
—— 控制微分方程
Γ : 0 Γ :
q
k
n
q 0
—— 问题的边界条件
Q
—— 热源密度
B ( ) 0 k q n
q —— 边界上的热流 k —— 热传导系数 n —— 边界外法线方向
—— A、B 分别表示两微分算子
出版社
参考教材《有限元方法基础教程》 Daryl L.Logan
著 伍义生 吴永礼 等译 电子工业出版社 《有限元方法编程》 I.M. Smith，D.V. Griffiths著 电子工业出版社 《有限元分析》——ANSYS理论与应用 Saeed Moaveni 著 电子工业出版社
《弹性力学简明教程》徐芝纶 高等教育出版社
教学目的
通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法 与程序，使学生能够掌握其求解力学问题的特点， 解题过程，熟悉一种有限元程序，初步具备使用 有限元方法解决工程设计分析问题的能力。
第 1 章
1.1 1.2
绪论
什么是有限元？ 有限元法的发展简史
1.3
1.4 1.5
有限元法的理论基础
结构有限元法的一般步骤 有限元软件ANSYS简介
v, v , u
的要求：
v, v : —— （a）单值、（b）可积。 u : —— 取决于微分算子 A、B 的最高阶数。
若微分算子 A、B 的最高阶数为 n ， 则要求函数u为Cn-1类函数。
1.3.2 等效积分的“弱”形式
v A ( u ) d Ω v B(u)dΓ 0 Ω Γ
一般地情形，设未知函数向量为：
u u1 , u2 ,, un
其定解问题可表示为：

A1 (u) A(u) A2 (u) 0 m B1 (u) B(u) B2 (u) 0 l
Ω A(u) 0
n
在 q 边界上自动得到满足。这类边界条件称为自然边界条件。
（2）适当选取函数 v ，使得
Γq : v Γ 0
q
Γ : v Γ 0
Ω
式（1.3.15）成为：
—— 伽辽金（Galerkin）方程 （3）与等效积分形式（1.3.10）相比较，函数 的导数降了一阶。

Ω
vkdΩ vQdΩ 0
（2）编制通用的有限元分析软件。
主要有限元软件： SAP —— Structure Analysis Program ADINA（Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis） NASTRAN、ASKA、SAFE、MARC、ANSYS 、ABAQUS 等
★1960，Clough（克拉夫），第一次在处理平面弹性问题时，提 出了“有限单元法”的名称，并为人们开绐认同。 ★1960~1970期间，卞学璜、董平、冯康等，对有限单元法的理论基 础等方面作出了卓越的贡献。
—— 以上属有限单元法的鼎盛时期，得益于计算机技术的发展。
★80年代后，有限单元法基本成熟。以后的发展重点： （1）构造高精度、高效率的单元；
1.1

什么是有限元？
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法。是解决工程 实际问题的一种有力的数值计算工具。
控制微分方程 工程问题 （力学、物理等） 建立一组 基本方程 常微分方程 偏微分方程 位移边界条件 力的边界条件 初始条件
边界条件 精确解 （均质、边界条件简单） 求解 (解析解） （1）பைடு நூலகம்限差分法 近似解 （数值解） （2）等效积分法（包括变分法） 代数方程组 （3）有限单元法 （4）边界单元法 ……
则连续介质问题的解 u 一定使泛函 对微小变化 u 取驻值， 即，使泛函 的“变分”等于零：
u u Π(u) F (u, ,)dΩ E (u, ,)dΓ Ω Γ x x
（1.3.1）
Π(u) 0
（1.3.2）
称为变分原理。 由变分原理求解连续介质问题的方法称为变分法。 连续介质力学问题； （1）要求存在某一标量泛函 说明： 热传导问题； 流场问题； 电磁场问题等。 （2）是等效积分形式的一种特殊情形。 对式（1.3.1）求变分，有
有限元法基础
教师：董纪伟 力建学院力学系
教学安排
课时分配 考试方式
理论 36学时 上机 9学时
平时成绩+大作业+期末考试
公共邮箱
网络资源
用户名：femy2013@ 密 码：youxianyuan2013
小木虫论坛
教材及参考书
使用教材《有限单元法》 王勖成 编著 清华大学
（1.3.1 ） （在域 内 ） —— 控制微分方程
B(u) 0
Γ
（1.3.2 ） （在边界 上 ） —— 边界条件 —— A、B 分别表示两微分 算子向量
2. 微分方程的等效积分形式
设一组与方程（1.3.1）个数相同的任意函数向量：
Ω Ω
v A(u)dΩ v1 A1 (u) v2 A2 (u) vm Am (u)dΩ 0
（1）等效积分形式：
v k q dΓ 0 （1.3.10） v ( k ) ( k ) Q dxdy x x y y n Γq Ω
v v (k )dxdy (k )dxdy v(k )nx dΓ x x x x 对式（1.3.10） Ω x Ω Γ 分部积分： v v ( k ) dxdy ( k ) dxdy v ( k )n y dΓ y y y y y Ω Ω Γ
（2）是等效积分形式的一种特殊情形。 对式（1.3.1）求变分，有
（1）等效积分形式：
Γ
Ω
Γq
在选择函数 时已自动满足。 这类边界条件称为强制边界条件 。 （2）等效积分的“弱”形式：
q dΓ 0 （1.3.10） v (k ) (k ) Q dxdy v k n x x y y Γq Ω 式中： v, v 为任意标量函数； 这里还假设 Γ 上的边界条件： 0
—— 等效积分的“弱”形式

Ω
vkdΩ vQdΩ vq dΓ vk
Ω
Γq
Γ
dΓ 0 n
（1.3.15）
—— 等效积分的“弱”形式 式（1.3.15）的几点说明： （1）未知函数（场函数） 不出现在 q 边界积分中，说明边界条件：
Γ q : k q 0
（1.3.8）
—— 等效积分形式
分部积分： uvdx uv uvdx
C0 C1 C1 C0


对式（1.3.8）作类似的分部积分，得另一种等效积分形式：