第二章 实数复习
一、算术平方根、平方根、立方根 1、基本概念
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a， 那么这个正数x叫做a的算术平方根；特别的， 0的算术平方根是0；
平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这 个数x叫做a的平方根；
立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这 个数x叫做a的立方根。
3
例4：
1.已知等腰三角形两边长a,b满足
a 2b a b 9 0
求此等腰三角形的周长
1 2x 1 1 2x 2.已知y= 2
求2（x+y）的平方根
例5：计算
1 32 3 1 48 6 ; 2 3 6 2 3 27 1 ; 4 28 700 3 7 3
3 2
已知m n, 求（n m） （m n） 的值
3 2
3
二、实数
3、实数的运算、化简
含有根号的数化简的两个要求： 被开方数不含有开得尽方的因数；
被开方数不含有分母，最后结果中分母不 能是无理数
化简
3 32， ， 2 8
1 2
例1：
8是
64
的平方根
±8
64的平方根是
64 =
实数 a
-2
-1
0
1
2
二、实数
3、实数的运算、化简
a a=
2
a
a
a 0
0
a 0 a 0
(a 0)
a
2
a
4.计算
32 2 2 3 2 3
是负数 是正数 等于本身 是负数
等于它的相反数


32 2

2 3


2 3

2 2 3
3 2
原式 2 2 3 2 3 （ 3 2） 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3
4 2 3
3
a a3Leabharlann a 为任何数 a a
3
3
3
3
a为任何数 a a a为任何数
3
已知a 0, 求 a a 的值
8
9的平方根是 3
3 4 16 的立方根是
大于 17小于 11 的所有整数为
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3
x取何值时，下列各式有意义 例2：
(1)
4 x
(2)
4 x
2
(3)
1 3 2x 1
例3：
如果要求误差小于1 ， 估算 50的大小 比较大小： 23和5； 10和 5
解: ( y 3) 2
36
解:
1 y 3 36
19 17 y 或y 6 6
27 ( x )3 125 3 2 3 125 (x ) 3 27
x 2 3 125 3 27
1 y 3 6
x
x 1
2 5 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都 有两个解；当方程中出现立方时，一般 都有一个解
算术平方根 开平方
乘 方
互为逆运算
开 方
平方根 立方根
负的平方根
开立方
例：已知 3x 4 y 6 y 9 0, 求 xy的值
2
二、实数
1、无理数
无理数定义
无理数常见的三种形式
(1)和 相关的
(2)构造型的无理数；如0.01001000100001 ； 3 根号类
区分无理数和无限小数
二、实数
2、实数
实数定义
实数分类
整数 分数
有理数 实 数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
正无理数
负无理数
二、实数 2、实数 实数和数轴上点的对应关系
和实数相关的概念。例如：的倒数是-
1
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数 轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一 一对应的。
3
a的取值
性 质
正数 0 负数 开
a≥
0
a
0
≠
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
没有
方
等于本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1
一、算术平方根、平方根、立方根 4、乘方与开方之间的关系
一、算术平方根、平方根、立方根 2、关系式表示
2 x a x 0） 算术平方根：若 （ 则x叫a的算术平方根
即 x a
平方根：若 x a
2
则x叫a的平方根即 x

a
立方根：若 x3 a
则x叫a的立方根即 x 3 a
3
a
注意:
这个根指数3是绝对不可省 的.
解下列方程： 2 3 1 27 2 1. 9( y 3) 2. （x ） 125 0 3 4 1 2
一、算术平方根、平方根、立方根 3、性质及区别
算术平方根：算术平方根双重非负性；算术 平方根等于本身的数
平方根：非负数有算术平方根；正数的两个 平方根互为相反数；平方根等于本身的数
立方根：任何数都有立方根；立方根等于本 身的数
算术平方根、平方根、立方根联系和区别
算术平方根 表示方法 平方根 立方根