探究二次根式函数值域的求法
有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。
正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。
下面通过不同的角度进行探究。
探究一：求x x x 3245)(f ---=
的值域
设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。
解：()x x x f 3245---=
05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5
又()x f 在其定义域内是增函数。
()()35min -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[]
3,3，-
设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。
解： ()x x x f 3245---=
()x x x f ---=∴835
设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f
易得
3
32
2
=++=b
a y
b a
故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2
2=+b 上移动，何时截距最大，何时截距最
小。
由于0≥a ，0≥b 所以32
2=+b a 表示的仅为第一象限内
41
由图易知，直线经过A 点时，截距
y 最小，直线过B 点时，截距
y 最大。
将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中，
y
+﹛
得3max =y ， 3min -=y 所以，函数)(x f 的值域为[]
3,3-，。
设想三：一般说来，对于含二次根式的函数，三角代换可以化繁为简，化难为易，下面探究如何换元。
解： x x x f 3245)(---=
，
x x x f ---=∴835)(，
设θ2
cos 35=-x ，8sin 3=-x 2θ ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2
,0πθ，
cos 3)(=∴x f 2θsin 3-
=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-6sin 32πθ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈20πθ，，
∴ []
3,36sin 32-∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--πθ，
即[]
3,3)(-∈x f ，
故：函数)(x f 的值域为[]
3,3-。
反思：以上三种方法思维不同，方法各异。
主要体现了单调性，换元法，数形结合，化
归等多种数学方法和数学思想。
将我们所学的知识逐层渗透到每种方法中。
在解法二中，数形结合思想体现了数与形相互转化，解法三中，三角换元体现了函数与方程的相互转化。
诸如此类，以上方法均体现了转化与化归思想，而这种思想，几乎解每一道题都用，不愧为是数学思想方法的灵魂。
探究二，求函数223223)(f x x x x x -+++-=
的值域。
设想一：由于都是二次根式函数的值域求解问题，所以我们利用解析几何中直线与圆来求解。
解： 223223)(f x x x x x -+++-=
，
2232,23x x b x x a -+=+-=∴令（
,0≥b a
a
y b b a -==+4
22，故y 可视为直线上在圆4b 2
2=++-=b a y a ﹛
何时截距最大，何时截距最小。
由于0,0≥≥b a ， 所以4a 2
2
=+b 仅表示在第一象限内的
4
1
个圆。
显然，当直线与圆切于A 点时，截距最大。
当直线与圆交于C 、B 两点时，截距最小。
连接OA 易知OD=22,
=∴max )(f x 22,2)(f min =x , ]
[222f(x ，）的值域为∴。
设想二：由于本题中，二次根式下的被开方数含有二次项，所以它与探究题型略有变化，观察题目，将原式两边平方，利用双向不等式求解。
解：令y x =)(f ，
即)32)(23(2x -x 322322222x x x x x x y -++-++++-= =22)3(424x x --+，
,0)3(,03-4222
2≥-≥-x x x x ）（
8)3(424022≤--+≤∴x x ,
即,842
≤≤y
222≤≤∴y ，
]
[222f(x ，）的值域为∴。
设想三：利用三角换元。
解：设)2,
0(,sin 232,cos 223x 2
2
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=-+=+-πθθθx x x ， ∴y =()θθsin cos 2+
=)4
sin(22π
θ+，
又 )⎢⎣⎡∈2
,
0π
θ,
∴当)4
sin(π
θ+
=1时，y 最大，即22y max =，
∴当)4
sin(π
θ+
=
2
2
时，y 最小，即2y min =，
]
[222f(x ，）的值域为∴。
反思：本题看似前面探究一类型不同，但解法大同小异。
特别是三角换元与解析几何几乎是最常用的方法。
但探究二也稍有不同，比如设想二中的解法，它仅适用于x 的系数平方后能消去x ，所以，它的解法比较巧妙，但也是解决本类题目型的一种常用方法。
感悟与归纳：
通过对二次根式函数值域求法的探究，对于我们的解题十分重要。
逐如此类题型，我们应学会以下几点：
1、 观察分析二次根式函数的结构，抓住本质特征。
2、 变换思维角度，多方位思考，巧思妙解。
3、 重视思维的合理性，提高思维的灵活性。
如在利用三角换元时，抓住两个关系：1cos sin 2
2
=+x x ，1sec 2
2
=-x tcm x ，主要用来处理二次根式的函数值域问题。
对于二次根式值域求解方法，常用到三角换元，数形转化法，单调性法，以及向量等多种方法，而三角换元是处理二次根式的函数值域的最主要的方法，一般说来，对于二次根式的函数，均可考虑三角代换来几何函数，其次是数形转化法，在解析几何中，一个代数式往往具有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据。
其次，根据不同类型的二次根式函数，灵活运用单调性法向量法，以及构造不等式法等，可处理一些特殊类型的二次根式，掌握了这些，二次根式求值域的问题便迎刃而解。